Problem A. 595. (September 2013)
A. 595. Let p be a positive prime number for which there is a positive integer a such that p divides 2a2-1. Prove that there exist integers b and c such that p=2b2-c2.
(5 pont)
Deadline expired on October 10, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldásvázlat. A megoldás fő eszköze a következő lemma.
Lemma. Léteznek olyan x,y egész számok, amikre és .
Bizonyítás. Legyen , és helyezzük el a 0,a,2a,...,Na modulo p maradékosztályokat egy p kerületű kör mentén. Ezek a pontok a kört N+1 ívre osztják, ezért biztosan van az ívek között legfeljebb hosszúságú; valamelyik két 0i<jN indexre az ia és ja pontok távolsága kisebb, mint . Legyen x=j-i és yxa=(ja-ia); ekkor tehát és elérhető, hogy . A konstrukció szerint x biztosan nem osztható p-vel; ebből következik, hogy y sem lehet 0.
Azt állítjuk, hogy például a b=y, c=x választás megfelelő.
Mivel b,c0 és a 2 nem négyzetszám, 2b2-c20.
A feladat feltétele szerint
vagyis 2b2-c2 osztható p-vel.
Továbbá -p<2b2-c2<2p. Tehát, a 2b2-c2 egyetlen lehetséges értéke a p.
Statistics:
17 students sent a solution. 5 points: Csernák Tamás, Ioan Laurentiu Ploscaru, Janzer Barnabás, Kabos Eszter, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Nagy Bence Kristóf, Petrényi Márk, Simon 047 Péter, Szabó 789 Barnabás, Tossenberger Tamás, Williams Kada. 4 points: Mattia Tiso. 3 points: 1 student. 0 point: 3 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2013