Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem A. 599. (November 2013)

A. 599. Two parabolas, \mathcal{P}_1 and \mathcal{P}_2 have the same focus point. The directrix of \mathcal{P}_1 meets \mathcal{P}_2 at points A and B. The directrix of \mathcal{P}_2 meets \mathcal{P}_1 at C and D. Show that the points A, B, C and D are concyclic.

Proposed by: Gábor Holló, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Először megjegyezzük, hogy a parabolák tengelyei nem lehetnek merőlegesek. Ha ugyanis a tengelyek merőlegesek, akkor például \mathcal{P}_1 tengelye párhuzamos \mathcal{P}_2 vezéregyenesével, ekkor viszont nem lehet két különböző metszéspontjuk.

Vegyünk fel egy olyan derékszögű koordináta-rendszert, aminek origója a parabolák közös fókuszpontja, és a parabolák tengelyei azonos nagyságú, \varphi hegyesszöget zárnak be a koordináta-tengelyekkel. Ekkor tehát \varphi\ne45o.

Legyen a két vezéregyenes egy-egy normálegyenlete

d1:    f(x,y)=cos \varphi.x+sin \varphi.y+a=0,

d2:    g(x,y)=cos \varphi.x-sin \varphi.y+b=0,

ahol a, és b az origó előjeles távolsága a két direktrixtől.

A két parabola egyenletét a következő alakban írjuk fel:

\mathcal{P}_1: \qquad F(x,y)=x^2+y^2-f^2(x,y)=0,

\mathcal{P}_2: \qquad G(x,y)=x^2+y^2-g^2(x,y)=0.

Legyen c valós szám, és legyen

K(x,y)=x2+y2-f2(x,y)-g2(x,y)+cf(x,y)g(x,y)=

    =F(x,y)-g2(x,y)+cf(x,y)g(x,y)=

    =G(x,y)-f2(x,y)+cf(x,y)g(x,y).

Az A és B pontokban f=0 és G=0, a C és D pontokban pedig g=0 és F=0. Ezért az A,B,C,D pontok mindegyikére teljesül a K=0 egyenlet.

A K polinom a következő alakú:

K(x,y)=(1-(2-c)cos2\varphi)x2+(1-(2+c)sin2\varphi)y2+Ax+By+C.

A c=2cos 2\varphi választás esetén 2-c=2-2cos 2\varphi=4sin2\varphi és 2+c=2+2cos 2\varphi=4cos2\varphi, ezért

1-(2-c)\cos^2\varphi = 1-(2+c)\sin^2\varphi = 1-4\sin^2\varphi\cos^\varphi = \cos^2 2\varphi>0.

Ezért K(x,y)-ben az x2 és az y2 együtthatója ugyanaz a pozitív szám. A K(x,y)=0 egyenlet tehát vagy egy kör, vagy egy ponttá fajuló kör, vagy pedig képzetes kör egyenlete. Mivel több különböző pontra is teljesül az egyenlet, csak a valódi kör lehetséges.

Statistics:

15 students sent a solution.
5 points:Fehér Zsombor, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Simon 047 Péter, Tossenberger Tamás, Williams Kada.
4 points:Ágoston Péter, Herczeg József, Janzer Barnabás, Petrényi Márk, Simkó Irén, Szabó 789 Barnabás.
2 points:1 student.
0 point:2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013