Problem A. 600. (November 2013)
A. 600. Show that for every closed polygonal disk there exists a real number such that for arbitrary positive integer n and any points there is a point satisfying .
Based on a problem of CIIM5, Colombia
(5 pont)
Deadline expired on December 10, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldásvázlat. A halmaz minden egyes véges, nem üres részhalmazára definiáljuk az függvényt a következőképpen:
Az függvény folytonos, az értékkészlete pedig egy korlátos, zárt intervallum; jelöljük ezt -val:
A állítás ekvivalens azzal, hogy az összes intervallumnak van közös eleme.
Az 1-dimenziós Helly-tétel szerint ha korlátos, zárt intervallumok egy halmazában bármely két (nem feltétlenül különböző) intervallumnak van közös eleme, akkor az összes intervallumnak van közös eleme. (Közös elem például az alsó végpontok legkisebb felső korlátja.)
A Helly-tétel miatt elég azt megmutatnunk, hogy tetszőleges és halmazokra az és az intervallumnak van közös eleme. Egy ilyen közös elem például a következő:
Statistics:
6 students sent a solution. 5 points: Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Simon 047 Péter. 2 points: 1 student. 0 point: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013