Problem A. 608. (February 2014)

A. 608. Suppose that the convex polygonal disks \(\displaystyle P_1\), \(\displaystyle P_2\) and \(\displaystyle P_3\), lying in the plane, satisfy the property that for arbitrary points \(\displaystyle A\in P_1\), \(\displaystyle B\in P_2\) and \(\displaystyle C\in P_3\), the area of the triangle \(\displaystyle ABC\) is no more than a unit. Prove that there are two different ones among the disks \(\displaystyle P_1\), \(\displaystyle P_2\) and \(\displaystyle P_3\) whose area is at most \(\displaystyle 8\) units in total.

Proposed by: Tamás Fleiner, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Legyenek \(\displaystyle X\) és \(\displaystyle Y\) az egymástól legtávolabbi olyan pontok, amelyek ugyanahhoz a sokszöglemezhez (mondjuk \(\displaystyle P_3\)-hoz) tartoznak. Legyen \(\displaystyle P\) a \(\displaystyle P_1\), \(\displaystyle Q\) pedig a \(\displaystyle P_2\) egy pontja, és legyen a \(\displaystyle Z\) az \(\displaystyle X\) pont \(\displaystyle \overrightarrow{PQ}\)-val való eltoltja. A feltétel szerint \(\displaystyle 2\ge T_{XYP_\triangle}+ T_{XYQ_\triangle}\ge T_{XYZ_\triangle}\), hiszen a két háromszög összterülete nem növekszik, ha a \(\displaystyle PQ\) közös alapjukat úgy toljuk el, hogy \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle XY\) egyenesre essen. Könnyen látható, hogy ha eztán a kapott \(\displaystyle P'Q'\) alapot úgy toljuk tovább, hogy \(\displaystyle P'\) képe az \(\displaystyle X\)-be kerüljön, úgy ettől sem növekedhet az összterület.

Legyenek az \(\displaystyle I_1\) ill. \(\displaystyle I_2\) szakaszok a \(\displaystyle P_1\) és \(\displaystyle P_2\) sokszöglemezeknek egy \(\displaystyle XY\)-ra merőleges \(\displaystyle e\) egyenesre eső merőleges vetületei. A fenti érvelés szerint tetszőleges \(\displaystyle I_1\)-beli és \(\displaystyle I_2\)-beli pontok távolsága legfeljebb \(\displaystyle 4/d\) lehet (ahol \(\displaystyle d:=|XY|\)), amiből kis piszmogással \(\displaystyle |I_1|+|I_2|\le 8/d\) következik.

A feladat állítása közvetlenül adódik abból, hogy \(\displaystyle P_1\) és \(\displaystyle P_2\) befoglalható egy-egy \(\displaystyle d\times |I_1|\) ill. \(\displaystyle d\times |I_2|\) méretű téglalapba, tehát összterületük legfeljebb \(\displaystyle d\cdot (|I_1|+|I_2|)\le d\cdot 8/d=8\).

Statistics:

5 students sent a solution.
5 points:	Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Szabó 789 Barnabás, Williams Kada.
1 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2014