Problem B. 3847. (October 2005)
B. 3847. Given an angle and a point in its interior, construct the line through the point that encloses a triangle of minimum area with the arms of the angle.
(5 pont)
Deadline expired on November 15, 2005.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: A feladatnak csak akkor van értelme, ha az adott szög egyenesszögnél kisebb, ezt tehát feltesszük a továbbiakban. A szög két szárát jelölje a,b, az adott pontot P. Tükrözzük az a szárat a P pontra, ez az a' félegyenes a b szárat egy B pontban metszi, melynek a tükörképe az a száron legyen A. Világos, hogy az AB egyenes az egyetlen olyan P-re illeszkedő egyenes, melynek a szögtartományba eső részét - amennyiben az egy szakasz, nem pedig egy félegyenes - a P pont felezi. Megmutatjuk, hogy ez az egyenes a feladat egyetlen megoldása.
Ehhez csak azt kell megmutatnunk, hogy ha a P ponton át egy ettől különböző olyan egyenest húzunk, mely mindkét szögszárat metszi, az a szögtartományból egy nagyobb területű háromszöget vág le. Legyenek a metszéspontok a megfelelő szárakon A' illetve B', és az általánosság megszorítása nélkül tegyük fel, hogy az A' pont közelebb helyezkedik el a szög O csúcsához, mint az A pont. Ekkor az a' félegyenes a PB szakaszt egy B'' pontban metszi, melyre az AA'P háromszög egybevágó a BB''P háromszöggel. Ezért az AA'P háromszög telülete kisebb a BB'P háromszög területénél, az OAB háromszög területe pedig ugyanennyivel lesz kisebb az OA'B' háromszög területénél.
Statistics:
187 students sent a solution. 5 points: 102 students. 4 points: 41 students. 3 points: 15 students. 2 points: 10 students. 1 point: 10 students. 0 point: 9 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2005