Problem B. 3853. (November 2005)

B. 3853. Construct by ruler and compass a line of a given direction that halves the area of a given triangle.

(4 pont)

Deadline expired on December 15, 2005.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Világos, hogy a feladatnak mindig egy megoldása van. Húzzunk az adott iránnyal párhuzamos egyeneseket a háromszög csúcsain keresztül. A középső egyenes illeszkedjék a B csúcsra, és messe az AC oldalt a P pontban (elképzelhető, hogy ez egybeesik valamelyik csúccsal). Ha P az AC oldal felezőpontja, akkor készen vagyunk, egyébként pedig feltehetjük, hogy AP>CP. A szerkesztendő egyenes az AB szakaszt X, az AP szakaszt Y pontban metszi úgy, hogy AX^.AY=AB^.AC/2. A párhuzamos szelők tétele szerint AX/AY=AB/AP. Innen AX²=AB²AC/2AP. Ha a C csúcson áthaladó, BP-vel párhuzamos egyenes az AB félegyeneset a Q pontban metszi, akkor AQ/AC=AB/AP, vagyis AX²=(AB/2)AQ. Innen az AX szakasz hosszát a magasságtétel alapján így szerkeszthetjük meg. Egy egyenesen közös T kezdőpontból ellentétes irányba felmérjük az AB/2 és AQ szakaszokat. Az így nyert szakasz fölé Thalesz-kört rajzolunk. Ha az egyenesre T-ben állított merőleges a kört S-ben metszi, akkor TS²=(AB/2)AQ, vagyis TS=AX.

Statistics:

100 students sent a solution.
4 points:	59 students.
3 points:	15 students.
2 points:	12 students.
1 point:	9 students.
0 point:	5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2005