KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3861. Prove that the only real root of the equation x7-14x6+21x5-70x4+35x3-42x2+7x-2=0 is x=2+\root7\of{3} +\root7\of{9} +\dots +\root7\of{3^6}.

Suggested by B. Kovács, Szatmárnémeti

(5 points)

Deadline expired on 15 December 2005.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Az egyenlet baloldalán az (x-1)7 kifejezés kifejtése szerepel azzal a különbséggel, hogy x páros kitevőjű hatványainak együtthatója helyett annak kétszerese áll. Ugyanezt az (x+1)7 kifejtéséből is megkaphatjuk, ha a páros kitevőjű tagok együtthatóját (-2)-vel szorozzuk. Innen látszik, hogy az egyenletet

{3(x-1)^7-(x+1)^7\over 2}=0

alakra hozhatjuk, vagyis 3(x-1)7=(x+1)7. Mivel az f(x)=x7 függvény szigorúan monoton nő, ez ekvivalens a \root7\of3 (x-1)=x+1 egyenlettel, amelynek egyetlen megoldása

x={\root7\of3 +1\over \root7\of3 -1}=1+{3-1\over \root7\of3 -1}=
2+\root7\of3+\root7\of9 +\dots +\root7\of{3^6}.


Statistics on problem B. 3861.
51 students sent a solution.
5 points:Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Csató László, Cseh Ágnes, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Kardos Kinga Gabriela, Komáromy Dani, Korándi Dániel, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Mészáros Gábor, Nagy 235 János, Németh 007 Zsolt, Peregi Tamás, Pesti Veronika, Szakács Nóra, Szalóki Dávid, Szentandrási István, Szilágyi 987 Csaba, Szűcs Gergely, Ta Phuong Linh, Tomon István, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Werner Miklós.
4 points:Almási 270 Gábor András, Balogh Ádám, Berna Zoltán, Csorba János, Dányi Zsolt, Farkas Márton, Heinczinger Ádám, Károlyi Márton, Mercz Béla, Miklós Rozália, Páldy Sándor, Priksz Ildikó, Sárkány Lőrinc, Udvari Balázs.
3 points:4 students.
1 point:1 student.
0 point:4 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2005

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley