Problem B. 3880. (January 2006)

B. 3880. Prove that every positive integer n has a (positive) multiple smaller than n², such that in decimal notation it does not contain all the ten different digits.

(5 pont)

Deadline expired on February 15, 2006.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha n<10⁹, akkor n legfeljebb 9-jegyű, vagyis maga az n szám kielégíti a feltételeket. Feltehetjük tehát, hogy 10^kn<10^k+1 teljesül alkalmas k9 egész számmal, ekkor n²10^2k. Tekintsük az összes 2k-jegyű számot, melyekben csak az 1,2,3,4 számjegyek szerepelnek. Ezek mindegyike kisebb, mint n², számuk pedig 4^k, ami nagyobb, mint n. Valóban, (8/5)³=512/125>4, ezért (8/5)^k(8/5)⁹>4³>10, tehát 10^.5^k<8^k, vagyis n<10^k+1<16^k=4^2k. A skatulya-elv miatt van a számok között kettő, amely n-nel osztva ugyanannyi maradékot ad. E két szám különbsége tehát kisebb, mint n², osztható n-nel, és nem szerepelhet benne sem a 4-es, sem az 5-ös számjegy.

Statistics:

6 students sent a solution.
5 points:	Dombi Soma, Károlyi Gergely, Sümegi Károly, Szűcs Gergely, Tomon István.
4 points:	Nagy 235 János.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2006