Problem B. 3940. (October 2006)

B. 3940. Let a, o and c be three lines in the plane. Consider all squares ABCD such that vertex A lies on line a, the opposite vertex C on line c, and the centre of the square O lies on line o. Find the locus of vertices B and D.

Suggested by M. Danka and B. Kalló, 9th-grade students of Fazekas Mihály Gimnázium, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on November 15, 2006.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha a három egyenes egybeesik, akkor a mértani hely az a két nyílt félsík, amelyek erre az egyenesre támaszkodnak. Ha a=c $\ne$ o és o párhuzamos a-val, akkor a mértani hely üres, ha pedig o metszi a-t az O pontban, akkor a mértani hely az a-ra O-ban emelt merőleges egyenesnek O-tól különböző pontjai. Ha a és c egymással párhuzamosak, de nem egyeznek meg, akkor o vagy metszi ezt a két egyenest az E és F pontokban, vagy párhuzamos velük. Az első esetben az a,c egyenespárt az EF szakasz középpontja körül 90^o-kal elforgatva kapjuk a mértani helyet. A második esetben a mértani hely vagy üres, vagy pedig az egész sík, ha o éppen az a és c egyenesek középpárhuzamosa.

A továbbiakban feltesszük, hogy az a és c egyenesek metszik egymást egy M pontban. Az esetlegesen előforduló O=M esettől eltekintve (M nem lehet a négyzet középpontja, mert akkor a négyzet csúcspontjai egybeesnének) az o egyenes minden O pontjához pontosan két olyan ABCD négyzet található, amely megfelel a követelményeknek, és ez a két négyzet csak a csúcsok körüljárásának sorrendjében tér el egymástól. A B és D csúcsok egyikét (pozitív körüljárási irányt feltételezve a B-t) úgy kapjuk, hogy az a egyenest pozitív, a c-t pedig negatív irányban forgatjuk el 90^o-kal az O körül, és az így nyert a'(O) és c'(O) egyenesek metszéspontját vesszük, D pedig azon a''(O) és c''(O) egyenesek metszéspontja lesz, amelyeket az a és a c egyenesekből kapunk úgy, hogy azokat O körül rendre negatív, illetve pozitív irányban forgatjuk el 90^o-kal.

Legyen O₁,O₂,O₃ az o egyenes három különböző pontja, az ezekhez tartozó pozitív körüljárású ABCD négyzetek B csúcsát pedig jelölje rendre B₁,B₂,B₃. Azt állítjuk, hogy ha ${\ora{O_1O_3}}=\alpha{\ora{O_1O_2}}$ , akkor ${\ora{B_1B_3}}=\alpha {\ora{B_1B_2}}$ . Ennek belátásához legyen az o egyenesnek a-val és c-vel vett metszéspontja O_a, illetve O_c. Az O_i pont vetületét az a egyenesre jelölje X_i, ezt O_i körül pozitív irányban 90^o-kal elforgatva kapjuk az Y_i pontot, amely O_i-nek az a'(O_i)-re eső merőleges vetülete. A párhuzamos szelők tétele miatt

O₁Y₁:O₂Y₂:O₃Y₃=O₁X₁:O₂X₂:O₃X₃=O₁O_a:O₂O_a:O₃O_a.

Mivel az O₁Y₁,O₂Y₂,O₃Y₃ szakaszok párhuzamosak egymással, ebből következik, hogy

Y₁O_a:Y₂O_a:Y₃O_a=O₁Y₁:O₂Y₂:O₃Y₃=O₁O_a:O₂O_a:O₃O_a,

vagyis ${\ora{Y_1Y_3}}=\alpha{\ora{Y_1Y_2}}$ . Ennélfogva tetszőleges v vektorra, amellyel való eltolás az a'(O₁) egyenest az a'(O₂) egyenesbe viszi, igaz az, hogy az $\alpha$ v vektorral való eltolás az a'(O₁) egyenest az a'(O₃) egyenesbe viszi. Az a és c egyenesek szerepét felcserélve hasonló módon kapjuk azt is, hogy tetszőleges w vektorra, amellyel való eltolás a c'(O₁) egyenest a c'(O₂) egyenesbe viszi, igaz az, hogy az $\alpha$ w vektorral való eltolás a c'(O₁) egyenest a c'(O₃) egyenesbe viszi. Ebből pedig az a'(O_i) és c'(O_i) egyenesek B_i metszéspontjaira fennálló ${\ora{B_1B_3}}=\alpha {\ora{B_1B_2}}$ összefüggés már könnyen leolvasható.

Az elmondottak alapján a B pont mértani helye vagy egyetlen pont, vagy egy egész egyenes, és nyilván hasonló állítás érvényes a D pontra is. A B pont mértani helyét úgy kaphatjuk meg, hogy kiválasztjuk az O egyenes 2 különböző O₁,O₂ pontját majd a fenti eljárás szerint megkeressük a B₁,B₂ pontokat. Ha B₁=B₂, akkor a B pont mértani helye ez az egyetlen pont, egyébként pedig a teljes B₁B₂ egyenes. A B és D csúcsok együttes mértani helye pedig vagy két egyenes, vagy pedig egy egyenes és egy arra nem illeszkedő pont lesz.

Statistics:

30 students sent a solution.

5 points: Éles András, Kunos Ádám, Peregi Tamás, Sümegi Károly, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szűcs Gergely, Wolosz János.

4 points: Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Kornis Kristóf, Sárkány Lőrinc, Tossenberger Anna.

3 points: 2 students.

2 points: 1 student.

1 point: 4 students.

0 point: 10 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2006

30 students sent a solution.
5 points:	Éles András, Kunos Ádám, Peregi Tamás, Sümegi Károly, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szűcs Gergely, Wolosz János.
4 points:	Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Kornis Kristóf, Sárkány Lőrinc, Tossenberger Anna.
3 points:	2 students.
2 points:	1 student.
1 point:	4 students.
0 point:	10 students.

Already signed up?
New to KöMaL?