Problem B. 3942. (November 2006)

B. 3942. Find all two-digit even numbers $\overline{ab}$ , whose fifth powers end in $\overline{ab}$ .

(Mathematics competition for teacher training colleges, 1973).

(3 pont)

Deadline expired on December 15, 2006.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A binomiális tétel szerint

$(\overline{ab})^5=(10a+b)^5=(10a)^5+5(10a)^4b+10(10a)^3b^2+10(10a)^2b^3+ 5(10a)b^4+b^5.$

Itt az első négy tag nyilván osztható 100-zal, és az ötödik is, hiszen b páros szám. Tehát $(\overline{ab})^5$ utolsó két számjegye megegyezik b⁵ utolsó két számjegyével. Ha b 0 lenne, akkor innen a-ra is 0 adódna. Tehát b értéke 2,4,6 vagy 8 lehet, amikor is b⁵ utolsó két számjegye rendre 32, 24, 76, illetve 68, ezek lesznek tehát a megfelelő kétjegyű számok.

Statistics:

315 students sent a solution.

3 points: 225 students.

2 points: 41 students.

1 point: 27 students.

0 point: 11 students.

Unfair, not evaluated: 11 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2006

315 students sent a solution.
3 points:	225 students.
2 points:	41 students.
1 point:	27 students.
0 point:	11 students.
Unfair, not evaluated:	11 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?