Problem B. 3945. (November 2006)
B. 3945. Solve the following simultaneous equations: x3+y3+z3=8, x2+y2+z2=22, .
(3 pont)
Deadline expired on December 15, 2006.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A 3 szám egyike sem lehet 0. Az utolsó egyenletet xyz-vel beszorozva yz+xz+xy+z2=0, vagyis (x+z)(y+z)=0, ami csak úgy lehet, ha valamelyik tényező 0, tehát x=-z, vagy y=-z. Az első esetben x3=-z3, vagyis az első egyenletből y=2, ezt a másodikba behelyettesítve x2+z2=2z2=18. Ekkor x=3,z=-3, vagy x=-3,z=3. Hasonlóképpen járhatunk el a másik esetben is, így kapjuk az egyenletrendszer következő 4 lehetséges megoldását: x1=3, y1=2, z1=-3, x2=-3, y2=2, z2=3, x3=2, y3=3, z3=-3, x4=2, y4=-3, z4=3. Ezek pedig valóban ki is elégítik mindhárom egyenletet.
Statistics:
234 students sent a solution. 3 points: 114 students. 2 points: 70 students. 1 point: 19 students. 0 point: 17 students. Unfair, not evaluated: 14 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2006