Problem B. 3953. (December 2006)

B. 3953. Given are 100 real numbers whose sum is equal to zero. At least how many pairs can be chosen from them such that the sum of the numbers in each pair is not negative?

(5 pont)

Deadline expired on January 15, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Vegyünk fel egy $A_1A_2\ldots A_{99}$ szabályos 99-szöget, melynek középpontja O, és írjuk a számokat valamilyen sorrendben az $O,A_1,A_2,\ldots,A_{99}$ pontokba. Minden egyes 1 $\le$ i $\le$ 99 esetén alkossunk a számokból 50 párt a következő módon: az egyik párt alkossák az OA_i szakasz végpontjaiba írt számok, a további 49 párt pedig úgy képezzük, hogy a fennmaradó 98 pontot összekötő szakaszok közül az OA_i egyenesre merőleges szakaszok végpontjaiba írt számokat tekintjük egy-egy párnak.

Könnyen ellenőrizhető, hogy ilyen módon a számokból képezhető ${100\choose 2}=99\cdot 50$ párt 99 csoportba osztottuk oly módon, hogy az egy csoporton belül található 50 párban a 100 szám mindegyike pontosan egyszer szerepel. Ha tehát az egy csoporton belül található 50 pár mindegyikére tekintjük a párban szereplő két szám összegét, akkor az így kapott 50 szám összege 0, vagyis közülük legalább az egyik nemnegatív.

Létezik tehát legalább 99 olyan pár, amelyben a számok összege nemnegatív. Ennél többet azonban nem mondhatunk, hiszen a $99, -1, -1, \ldots, -1$ számokból ennél több nemnegatív összegű számpár nem választható ki.

Statistics:

126 students sent a solution.

5 points: Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Bálint Dániel, Bartha Zsolt, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cseh Ágnes, Cserép Máté, Dinh Hoangthanh Attila, Dinh Van Anh, Duba Zsombor, Éles András, Farkas Ádám László, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Gombor Tamás, Győrffy Lajos, Heinczinger Ádám, Honner Balázs, Károlyi Gergely, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Konkoly Csaba, Kunos Ádám, Mercz Béla, Mester Anita, Mészáros András, Nagy 314 Dániel, Nagy-Baló András, Somogyi Ákos, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Szudi László, Szűcs Gergely, Tallián György, Tossenberger Anna, Tóth 666 László Márton, Vámos Anna, Varga 171 László, Véges Márton, Wagner Zsolt, Wolosz János.

4 points: Cséke Balázs, Herber Máté, Nagy 648 Donát, Szabó Levente, Vajsz Tibor.

3 points: 9 students.

2 points: 10 students.

1 point: 45 students.

0 point: 13 students.

Unfair, not evaluated: 2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2006

126 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Bálint Dániel, Bartha Zsolt, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cseh Ágnes, Cserép Máté, Dinh Hoangthanh Attila, Dinh Van Anh, Duba Zsombor, Éles András, Farkas Ádám László, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Gombor Tamás, Győrffy Lajos, Heinczinger Ádám, Honner Balázs, Károlyi Gergely, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Konkoly Csaba, Kunos Ádám, Mercz Béla, Mester Anita, Mészáros András, Nagy 314 Dániel, Nagy-Baló András, Somogyi Ákos, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Szudi László, Szűcs Gergely, Tallián György, Tossenberger Anna, Tóth 666 László Márton, Vámos Anna, Varga 171 László, Véges Márton, Wagner Zsolt, Wolosz János.
4 points:	Cséke Balázs, Herber Máté, Nagy 648 Donát, Szabó Levente, Vajsz Tibor.
3 points:	9 students.
2 points:	10 students.
1 point:	45 students.
0 point:	13 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?