Problem B. 3954. (December 2006)
B. 3954. Solve the following simultaneous equations:
(Source: Hungarian Mathematics Competitions Across the Border, by Gy. Oláh)
(4 pont)
Deadline expired on January 15, 2007.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Legyen , ez pontosan x2/3 esetén van értelmezve. Megmutatjuk, hogy az értelmezési tartomány minden x pontjában f(x)x, és egyenlőség csakis x=2 esetén teljesül. Mivel az egyenletrendszer f(x)=y,f(y)=x alakú, vagyis f(f(x))=x és f(f(y))=y, az egyenletrendszert emiatt csakis az x=y=2 számpár elégítheti ki, és az ki is elégíti.
A bizonyítandó f(x)x egyenlőtlenséget hozzuk
alakra. Itt x2-x+6 minden x valós számra pozitív, ezért x2/3 esetén f(x)x ekvivalens az
(x2-x+6)16(3x-2)
egyenlőtlenséggel, amit
x4-2x3+13x2-60x+680
alakba írhatunk át. A baloldali kifejezésből az x-2 tényezőt egymás után kétszer kiemelve azt (x-2)2(x2+2x+17) alakra hozhatjuk, amiről látszik, hogy mindig nemnegatív, és a 0 értéket csak x=2 esetén veszi fel.
Statistics:
145 students sent a solution. 4 points: 70 students. 3 points: 37 students. 2 points: 21 students. 1 point: 7 students. 0 point: 10 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2006