Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 3965. (January 2007)

B. 3965. On the sides AB and AC of an acute-angled triangle ABC as diameters, draw semicircles outside the triangle. The lines of the altitudes drawn from the opposite sides intersect the semicircles at M and N. Prove that AM=AN.

(3 pont)

Deadline expired on February 15, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Tegyük fel, hogy az M pont van a B-ből induló magasság egyenesén. Jelölje BM és AC metszéspontját X. Az AXM és AMC derékszögű háromszögek hasonlóságából AM:AX=AC:AM, vagyis AM2=AX.AC. A szokásos jelölésekkel itt AC=b és AX=acos \alpha, tehát AM=\sqrt{ab\cos\alpha}. Szimmetria okok miatt ugyanez a képlet érvényes AN-re is.


Statistics:

107 students sent a solution.
3 points:98 students.
2 points:5 students.
1 point:1 student.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2007