Problem B. 3965. (January 2007)
B. 3965. On the sides AB and AC of an acute-angled triangle ABC as diameters, draw semicircles outside the triangle. The lines of the altitudes drawn from the opposite sides intersect the semicircles at M and N. Prove that AM=AN.
(3 pont)
Deadline expired on February 15, 2007.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Tegyük fel, hogy az M pont van a B-ből induló magasság egyenesén. Jelölje BM és AC metszéspontját X. Az AXM és AMC derékszögű háromszögek hasonlóságából AM:AX=AC:AM, vagyis AM2=AX.AC. A szokásos jelölésekkel itt AC=b és AX=acos , tehát . Szimmetria okok miatt ugyanez a képlet érvényes AN-re is.
Statistics:
107 students sent a solution. 3 points: 98 students. 2 points: 5 students. 1 point: 1 student. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2007