Problem B. 3985. (March 2007)
B. 3985. The lawn in our garden consists of n blades of glass. We want to cut the grass so that each blade of glass becomes equal in length but the total length of them stays the same. We are allowed to make n-1 cuts on the grass blades altogether, and we may fix the cut pieces to each other and to the remaining pieces. Is it always possible to complete the grass cutting in this way?
(4 pont)
Deadline expired on April 16, 2007.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy a fűszálak összhossza n, vagyis minden fűszálat egységesen egység hosszúra szeretnénk nyírni. Hogy ez mindig megtehető a feladatban leírt módon, azt n szerinti teljes indukcióval igazoljuk. Ha n=1, akkor az állítás nyilvánvaló. Ha n
2, és n-1 esetén már igazoltuk az állítást, akkor eljárásunk legyen a következő. Válasszuk ki a(z egyik) leghosszabb fűszálat. Ha ez pontosan 1 hosszú, akkor minden fűszál egység hosszú, vagyis egyetlen vágásra sincs szükség. Ellenkező esetben vágjuk le a fűszálat 1 hosszúra, a levágott részt pedig ragasszuk hozzá képzeletben bármelyik másik fűszálra. Így a már levágott fűszálon kívül megmaradt n-1 fűszál összhossza n-1, tehát azokat legfeljebb n-2 vágással mind egység hosszúra nyírhatjuk.
Statistics:
124 students sent a solution. 4 points: 76 students. 3 points: 34 students. 2 points: 4 students. 1 point: 2 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 6 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2007