Problem B. 4007. (May 2007)

B. 4007. Let A, B, C, D denote four distinct points in the space. The line segment PQ is ``moved'' from AB to DC so that in each time instant P divides the line segment AD in the same ratio as Q divides BC. Then the line segment PQ sweeps out a surface. Prove that the same surface will be obtained if a line segment RS is moved in the same way from AD to BC.

(4 pont)

Deadline expired on June 15, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen a 4 pont helyvektora a,b,c,d. Ha valamilyen 0 $\le$ x $\le$ 1 esetén a P=P_x pont az AD szakaszt x:(1-x) arányban osztja, akkor ennek helyvektora p_x=(1-x)a+xd, és ugyanakkor a Q=Q_x pont helyvektora q_x=(1-x)b+xc. A P_xQ_x szakaszt y:(1-y) arányban osztó Z_x,y pont helyvektora tehát

z_x,y=(1-y)p_x+yq_x=(1-x)(1-y)a+(1-x)yb+xyc+x(1-y)d,

vagyis így írhatók le az első felület pontjainak helyvektorai, ahol az x,y paraméterek értéke 0 és 1 között tetszőlegesen változik.

Hasonlóképpen az AB szakaszt y:(1-y) arányban osztó R=R_y és a DC szakaszt szintén y:(1-y) arányban osztó S=S_y pontok helyvektora rendre r_y=(1-y)a+yb és s_y=(1-y)d+yc, vagyis az R_yS_y szakaszt x:(1-x) arányban osztó W_y,x pont helyvektora

w_y,x=(1-x)r_y+xs_y=(1-x)(1-y)a+(1-x)yb+xyc+x(1-y)d,

így írhatók le a második felület pontjainak helyvektorai, ahol az x,y paraméterek értéke szintén 0 és 1 között tetszőlegesen változik.

Mivel minden 0 $\le$ x,y $\le$ 1 esetén z_x,y=w_y,x, valóban ugyanazok a pontok lesznek rajta mind a két felületen.

Statistics:

32 students sent a solution.

4 points: Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Aujeszky Tamás, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Csaba Ákos, Éles András, Fonyó Dávid, Gévay Gábor, Grósz Dániel, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Korom-Vellás Judit, Kunos Ádám, Lovas Lia Izabella, Nagy 314 Dániel, Peregi Tamás, Salát Zsófia, Sümegi Károly, Szalkai Balázs, Szűcs Gergely, Tossenberger Anna, Tóth 666 László Márton, Varga 171 László, Véges Márton.

3 points: Bodor Bertalan, Nagy 648 Donát, Nagy-Baló András.

2 points: 2 students.

1 point: 1 student.

0 point: 1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2007

32 students sent a solution.
4 points:	Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Aujeszky Tamás, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Csaba Ákos, Éles András, Fonyó Dávid, Gévay Gábor, Grósz Dániel, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Korom-Vellás Judit, Kunos Ádám, Lovas Lia Izabella, Nagy 314 Dániel, Peregi Tamás, Salát Zsófia, Sümegi Károly, Szalkai Balázs, Szűcs Gergely, Tossenberger Anna, Tóth 666 László Márton, Varga 171 László, Véges Márton.
3 points:	Bodor Bertalan, Nagy 648 Donát, Nagy-Baló András.
2 points:	2 students.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.

Already signed up?
New to KöMaL?