Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4010. (May 2007)

B. 4010. p(x) and q(x) are polynomials of real coefficients that have no real roots in common, and p(q(x))=q(p(x)) for all x. Prove that the polynomials p(p(x)) and q(q(x)) have no common real roots either.

(4 pont)

Deadline expired on June 15, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben p(p(\alpha))=q(q(\alpha))=c valamilyen \alpha valós számra. Legyen a=p(\alpha), b=q(\alpha), ekkor p(a)=q(b)=c. Az első feltétel szerint a\neb, a második feltétel szerint pedig q(a)=q(p(\alpha))=p(q(\alpha))=p(b)=d. A p(a)\neq(a) feltétel miatt c\ned. A p függvény grafikonja összeköti az (a,c) pontot a (b,d) ponttal, a q függvény grafikonja pedig az (a,d) pontot a (b,c) ponttal. A két grafikon valahol metszi egymást: létezik olyan a<\beta<b szám, amelyre p(\beta)=q(\beta). Ez viszont ellentmond az első feltételnek.


Statistics:

37 students sent a solution.
4 points:Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Aujeszky Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cseh Ágnes, Éles András, Énekes Péter, Gele Viktória, Godó Zita, Grósz Dániel, Keresztfalvi Tibor, Korom-Vellás Judit, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Peregi Tamás, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szalóki Dávid, Szűcs Gergely, Tóth 666 László Márton, Varga 171 László, Wagner Zsolt.
3 points:Aczél Gergely, Dinh Hoangthanh Attila, Konkoly Csaba, Kunos Ádám, Mihálykó Ágnes, Szalkai Balázs, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 222 Barnabás.
2 points:1 student.
1 point:1 student.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2007