KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4010. (May 2007)

B. 4010. p(x) and q(x) are polynomials of real coefficients that have no real roots in common, and p(q(x))=q(p(x)) for all x. Prove that the polynomials p(p(x)) and q(q(x)) have no common real roots either.

(4 pont)

Deadline expired on 15 June 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben p(p(\alpha))=q(q(\alpha))=c valamilyen \alpha valós számra. Legyen a=p(\alpha), b=q(\alpha), ekkor p(a)=q(b)=c. Az első feltétel szerint a\neb, a második feltétel szerint pedig q(a)=q(p(\alpha))=p(q(\alpha))=p(b)=d. A p(a)\neq(a) feltétel miatt c\ned. A p függvény grafikonja összeköti az (a,c) pontot a (b,d) ponttal, a q függvény grafikonja pedig az (a,d) pontot a (b,c) ponttal. A két grafikon valahol metszi egymást: létezik olyan a<\beta<b szám, amelyre p(\beta)=q(\beta). Ez viszont ellentmond az első feltételnek.


Statistics:

>
37 students sent a solution.
4 points:Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Aujeszky Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cseh Ágnes, Éles András, Énekes Péter, Gele Viktória, Godó Zita, Grósz Dániel, Keresztfalvi Tibor, Korom-Vellás Judit, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Peregi Tamás, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szalóki Dávid, Szűcs Gergely, Tóth 666 László Márton, Varga 171 László, Wagner Zsolt.
3 points:Aczél Gergely, Dinh Hoangthanh Attila, Konkoly Csaba, Kunos Ádám, Mihálykó Ágnes, Szalkai Balázs, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 222 Barnabás.
2 points:1 student.
1 point:1 student.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley