Problem B. 4017. (September 2007)
B. 4017. The circle k2 touches the circle k1 on the inside at point A. The tangent drawn to circle k2 at a point D different from A intersects the circle k1 at the points B and C. Prove that AD bisects the angle BAC.
(4 pont)
Deadline expired on October 15, 2007.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: A k1 kör középpontját jelölje O, a k2-ét K, ekkor az A,K,O pontok egy egyenesre esnek. Ha a D pont is erre az egyenesre illeszkedik, akkor az állítás nyilvánvaló. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük hát, hogy D közelebb van B-hez, mint C-hez. Az OAC, OCB, OBA és KDA háromszögek egyenlőszárúak. Legyen tehát
és ADK=KAD=. Irányított szögekkel számolunk, tehát ha C az AO egyenesnek ugyanarra az oldalára esik, mint B, akkor az szög negatív. Tudjuk még, hogy a BDK és KDC szög is derékszög. Az ADB és az ADC háromszög szögeinek összege is 180o, vagyis
(-)+(90o-)+(+)=(+)+(90o+)+(+).
Innen 2-2=2+2, tehát DAB=-=+=CAD, amint azt bizonyítani kellett.
Statistics:
157 students sent a solution. 4 points: 132 students. 3 points: 11 students. 2 points: 4 students. 0 point: 5 students. Unfair, not evaluated: 5 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2007