Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4017. (September 2007)

B. 4017. The circle k2 touches the circle k1 on the inside at point A. The tangent drawn to circle k2 at a point D different from A intersects the circle k1 at the points B and C. Prove that AD bisects the angle BAC.

(4 pont)

Deadline expired on October 15, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A k1 kör középpontját jelölje O, a k2-ét K, ekkor az A,K,O pontok egy egyenesre esnek. Ha a D pont is erre az egyenesre illeszkedik, akkor az állítás nyilvánvaló. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük hát, hogy D közelebb van B-hez, mint C-hez. Az OAC, OCB, OBA és KDA háromszögek egyenlőszárúak. Legyen tehát

CAO\angle=OCA\angle=\alpha,\ BCO\angle=OBC\angle=\beta,
\ ABO\angle=OAB\angle=\gamma

és ADK\angle=KAD\angle=\delta. Irányított szögekkel számolunk, tehát ha C az AO egyenesnek ugyanarra az oldalára esik, mint B, akkor az \alpha szög negatív. Tudjuk még, hogy a BDK és KDC szög is derékszög. Az ADB és az ADC háromszög szögeinek összege is 180o, vagyis

(\gamma-\delta)+(90o-\delta)+(\beta+\gamma)=(\alpha+\delta)+(90o+\delta)+(\alpha+\beta).

Innen 2\gamma-2\delta=2\alpha+2\delta, tehát DAB\angle=\gamma-\delta=\alpha+\delta=CAD\angle, amint azt bizonyítani kellett.


Statistics:

157 students sent a solution.
4 points:132 students.
3 points:11 students.
2 points:4 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:5 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2007