Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4021. (September 2007)

B. 4021. Prove that if each of the numbers a1,a2,...,an is at least 1, then

(a1+1)(a2+1).....(an+1)\ge2n-1(a1+a2+...+an-n+2).

(4 pont)

Deadline expired on October 15, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen xi=ai-1. Ezen nemnegatív számok segítségével a baloldalon álló kifejezés (2+x_1)(2+x_2)\ldots(2+x_n) alakba írható. Ha ezt a szorzatot kifejtjük, akkor egy olyan összeget kapunk, amelynek 2n tagja van. Minden egyes tag egy n-tényezős szorzat, ahol a tényezők mindegyike vagy 2-vel, vagy valamelyik xi-vel egyenlő. Az összeg egyik tagja sem negatív tehát, továbbá a tagok közül az egyik 2n-nel, további n tag pedig a 2n-1xi számokkal (i=1,2,\ldots,n) egyenlő. Ezért

(2+x_1)(2+x_2)\ldots(2+x_n)\ge 2^n+2^{n-1}(x_1+x_2+\ldots+x_n)=
2^{n-1}(x_1+x_2+\ldots+x_n+2),

ami viszont éppen az egyenlőtlenség jobboldalán álló mennyiség. Ezzel az állítást igazoltuk.

Ha n=1, akkor a baloldali kifejezésnek az összes tagját figyelembe vettük, n\ge2 esetén pedig a kétszeres szorzatokat is tekintetbe véve könnyen megállapítható, hogy egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha az ai számok közül legfeljebb egy nagyobb 1-nél.


Statistics:

139 students sent a solution.
4 points:94 students.
3 points:19 students.
2 points:7 students.
1 point:12 students.
0 point:7 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2007