Problem B. 4028. (October 2007)

B. 4028. The radii of two spheres are 5 and 3 units, and the distance of the centres is 4 units. Calculate the volume of their intersection.

(3 pont)

Deadline expired on November 15, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen a két gömb középpontja A, illetve B. A két gömbfelület metszéspontja egy olyan körvonal, amelynek minden P pontja A-tól 5, B-től 3 egység távolságra van. Vagyis Pithagorasz tételének megfordítása értelmében az ABP háromszögben P-nél derékszög van, ezért a körvonal síkja, mely merőleges az AB egyenesre, azt B-ben metszi. Ez a sík a két gömb közös részét két részre vágja. A fentiek miatt az egyik rész egy 3 egység sugarú félgömb, a másik pedig az 5 egység sugarú gömbből levágott 5-4=1 egység magasságú gömbsüveg.

Mivel az R sugarú gömb térfogata 4R³ $\pi$ /3, a belőle levágott h magasságú gömbsüvegé pedig h²(3R-h) $\pi$ /3, a keresett térfogat

$V=\frac{2\cdot3^3\cdot\pi}{3}+\frac{1^2\cdot 14\cdot \pi}{3} =\frac{68\pi}{3}.$

Statistics:

242 students sent a solution.

3 points: 130 students.

2 points: 83 students.

1 point: 22 students.

0 point: 6 students.

Unfair, not evaluated: 1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2007

242 students sent a solution.
3 points:	130 students.
2 points:	83 students.
1 point:	22 students.
0 point:	6 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Already signed up?
New to KöMaL?