Problem B. 4029. (October 2007)

B. 4029. The sum of the positive numbers r and s is 1. Show that r^r.s^s+r^s.s^r1.

Suggested by R. F. Stöckli, Buenos Aires

(5 pont)

Deadline expired on November 15, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Mivel 1=r+s=r^r+s+s^r+s=r^rr^s+s^rs^s,

1-(r^rs^s+r^ss^r)=r^rr^s+s^rs^s-r^rs^s-s^rr^s=(r^r-s^r)(r^s-s^s).

Mivel pozitív a hatványkitevő mellett az x^a függvény a pozitív számokon szigorúan monoton nő, a szorzat mindkét tényezője pozitív, ha r>s, negatív, ha r<s, r=s esetén pedig 0. A szorzat tehát mindig nemnegatív, amiből az állítás leolvasható. Az is látszik, hogy egyenlőség pontosan az r=s=1/2 esetben áll fenn.

Statistics:

82 students sent a solution.
5 points:	Aczél Gergely, Aujeszky Tamás, Botos Csongor, Cséke Balázs, Dinh Van Anh, Fonyó Dávid, Fukker Gábor, Huszár Kristóf, Kiss 243 Réka, Lovas Lia Izabella, Marák Károly, Márki Róbert, Márkus Bence, Mezei Márk, Nagy 648 Donát, Somogyi Ákos, Ta Phuong Linh, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Weisz Ágoston.
4 points:	44 students.
3 points:	1 student.
2 points:	1 student.
1 point:	2 students.
0 point:	13 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2007