Problem B. 4034. (November 2007)

B. 4034. The midpoint of one side of a triangle is F, and the points dividing another side into three equal parts are H₁ and H₂. The third side is divided into n equal parts by the points $N_1, N_2, \ldots, N_{n-1}$ . Consider all triangles FH_iN_j where i=1,2, $j=1,\ldots,n-1$ . Show that for any triangle selected out of these triangles there is exactly one other triangle that has the same area.

Suggested by T. Káspári, Paks

(3 pont)

Deadline expired on December 17, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás: A harmadik oldal két végpontját jelölje N₀ és N_n. Feltehetjük, hogy a jelölések úgy vannak megválasztva, hogy az $N_0,N_1,\ldots,N_n$ pontok ebben a sorrendben követik egymást, továbbá H₁ éppen az N₀H₂ szakasz felezőpontja. Ekkor az N_iN_i+1 szakaszok 0 $\le$ i<n mind ugyanolyan hosszúak. Ha a háromszög területe T, akkor könnyen belátható, hogy az N₀H₁F és az N_nH₂F háromszögek területe egyaránt T/6, az N₀H₂F és N_nH₁F háromszögeké pedig T/3.

Az N_iH₁F háromszögek H₁F oldalhoz tartozó magasságai egy n+1 hosszúságú növekvő számtani sorozatot alkotnak, ennek megfelelően az N_iH₁F háromszögek területei egy olyan n+1 tagú növekvő számtani sorozatot alkotnak, melynek első eleme T/6, az utolsó pedig T/3. Legyen ez a sorozat a_n. Hasonlóképpen az N_iH₂F háromszögek területei egy olyan n+1 tagú csökkenő számtani sorozatot alkotnak, melynek első eleme T/3, az utolsó pedig T/6. Legyen ez a sorozat b_n. A két számtani sorozat egyaránt (n+1) tagból áll, a₁=b_n+1, b₁=a_n+1. Ezen két észrevételből következik, hogy a_i=b_n+2-i, ahonnan már következik az állítás.

II. megoldás: Az I. megoldás jelöléseit használjuk.

Vegyük észre, hogy t_{H₂N_jF} $\neq$ t_{H₂N_kF}, ha j $\neq$ k, hiszen mindkét háromszögben az egyik oldal H₂F, viszont az ehhez az oldalhoz tartozó magasságok nem egyenlő hosszúak, hiszen $H_2F\nparallel N_0N_n$ .

Ugyanígy t_{H₁N_jF} $\neq$ t_{H₁N_kF}, ha j $\neq$ k.

Ezután meg kell vizsgálni, hogy milyen j és i esetén lehet egyenlő t_{H₂N_jF} és t_{H₁N_iF}.

Jelöljük a háromszög területét T-vel, harmadik csúcsát pedig A-val. Ekkor:

$t_{H_2N_jF}=T-t_{FN_jN_n}-t_{H_2N_0N_j}-t_{AH_2F}=T\left(1-\frac{n-j}{n}\cdot\frac12-\frac jn\cdot\frac23-\frac13\cdot\frac12\right),$

hiszen pl. a H₂N₀N_j háromszögben $N_0N_j=\frac{j}{n}\cdot N_0N_n$ és $H_2N_0=\frac23\cdot AN_0$ , tehát a háromszög területe $\frac{j}{n}\cdot \frac23$ -szorosa AN₀N_n területének, mert a megfelelő két oldal álatal bezárt szög megegyezik, így a területek aránya az oldalak arányának a szorzatával egyenlő.

Hasonlóan:

$t_{H_1N_iF}=T-t_{FN_iN_n}-t_{H_1N_0N_i}-t_{AH_1F}=T\left(1-\frac{n-i}{n}\cdot\frac12-\frac in\cdot\frac13-\frac23\cdot\frac12\right).$

$t_{H_2N_jF}=t_{H_1N_iF}\Longleftrightarrow$

$T\left(1-\frac{n-j}{n}\cdot\frac12-\frac jn\cdot\frac23-\frac13\cdot\frac12\right)=T\left(1-\frac{n-i}{n}\cdot\frac12-\frac in\cdot\frac13-\frac23\cdot\frac12\right)\Longleftrightarrow$

$\frac{-3n+3j-4j-n}{6}=\frac{-3n+3i-2i-2n}{6}\Longleftrightarrow$

-j+n=i.

Tehát valóban mindig egy megfelelő háromszög van.

Statistics:

102 students sent a solution.

3 points: 70 students.

2 points: 18 students.

1 point: 11 students.

0 point: 3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2007

102 students sent a solution.
3 points:	70 students.
2 points:	18 students.
1 point:	11 students.
0 point:	3 students.

Already signed up?
New to KöMaL?