Problem B. 4043. (December 2007)
B. 4043. For what pairwise different positive integers is the value of
an integer?
(4 pont)
Deadline expired on January 15, 2008.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Legyen x'=x+1. A kifejezéshez az mennyiséget hozzádva egész számot (négyet) kapunk. Szükséges és elégséges feltétel tehát, hogy az 1-nél nagyobb páronként különböző a', b', c', d' egész számokra S értéke is egész legyen. Mivel , ez csak úgy lehet, ha S=1. Tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hogy a'<b'<c'<d'. Ha a'3, akkor , ezért szükségképpen a'=2, .
Ha b'6 lenne, akkor lenne, ezért 3b'5. A b'=5 esetet könnyen kizárhatjuk, ekkor ugyanis c'6. Ha c'=6 lenne, akkor lenne, ami nem lehetséges. Ha pedig c'7, akkor d'8, és így S'<1/2.
A b'=4 esetben , vagyis c'd'=4c'+4d', (c'-4)(d'-4)=16. Mivel 1c'-4<d'-4 egész számok, ez csak úgy lehetséges, ha c'-4=1 és d'-4=16, vagy c'-4=2, d'-4=8. Az első esetben c'=5 és d'=20, a másodikban c'=6 és d'=12. A b'=3 esetben hasonló gondolatmenettel alapján (c'-6)(d'-6)=36 adódik, ahol -2c'-6<d'-6. Innen a (c'-6,d'-6) számpár lehetséges értékeire (1,36), (2,18), (3,12) és (4,9) adódik, vagyis ebben az esetben a (c',d') számpár (7,42), (8,24), (9,18), illetve (10,15) lehet.
A feltételt tehát 6 különböző a'<b'<c'<d' számnégyes elégíti ki. Ennek megfelelően a feladatnak 6.4!=144 különböző megoldása van, melyeket az (1,3,4,19), az (1,3,5,11), az (1,2,6,41), az (1,2,7,23), az (1,2,8,17), illetve az (1,2,9,14) számnégyesek összes lehetséges permutációjával kaphatunk meg.
Statistics:
118 students sent a solution. 4 points: Ágoston Tamás, Angyal Levente, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Csere Kálmán, Czeller Ildikó, Deák Zsolt, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Grósz Dániel, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kiss 232 Dóra, Kiss 243 Réka, Kiss 716 Eszter, Kiss 902 Melinda Flóra, Klincsik Gergely, Konkoly 001 Csaba, Lamm Éva, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Matyuska Péter, Mészáros András, Mihálykó Ágnes, Muszka Balázs, Nagy 648 Donát, Nguyen Milán, Pap Máté, Paripás Viktor, Pasztuhov Anna, Peregi Tamás, Perjési Gábor, Pop Bence, Prok Tamás, Salát Zsófia, Somogyi Ákos, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 222 Barnabás, Vuchetich Bálint, Zelena Réka, Zsupanek Alexandra. 3 points: 39 students. 2 points: 17 students. 1 point: 11 students. 0 point: 5 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2007