Problem B. 4044. (December 2007)

B. 4044. Prove that the average distance of a point in the interior of a regular polygon from the side of the polygon equals the radius of the inscribed circle.

(3 pont)

Deadline expired on January 15, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen a sokszög oldala a, a beírt kör sugara r, a pontnak az oldalegyenesektől mért távolságai pedig $h_1,h_2,\ldots,h_n$ . Ha az adott pontot a csúcsokkal összekötjük, akkor n darab kis háromszög keletkezik. Mindegyiknek az egyik oldala a, az ehhez az oldalhoz tartozó magasságok pedig rendre $h_1,h_2,\ldots,h_n$ . A háromszögek területének összege megegyezik a sokszög területével, vagyis a terület kétszerese $2T=ah_1+ah_2+\ldots+ah_n$ alakba írható. Ha a beírt kör középpontját kötjük össze a csúcsokkal, akkor ugyanezzel a gondolattal a 2T=nar összefüggésre jutunk, ahonnan

$ah_1+ah_2+\ldots+ah_n=nar$

adódik, ezt an-nel leosztva kapjuk a bizonyítandó állítást.

Statistics:

156 students sent a solution.

3 points: 122 students.

2 points: 8 students.

1 point: 13 students.

0 point: 13 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2007

156 students sent a solution.
3 points:	122 students.
2 points:	8 students.
1 point:	13 students.
0 point:	13 students.

Already signed up?
New to KöMaL?