Problem B. 4047. (December 2007)
B. 4047. A finite number of circular discs cover an area T on the plane together. Prove that it is possible to select a few discs that do not overlap and cover an area of at least T/9 together.
(4 pont)
Deadline expired on January 15, 2008.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Legyen K1 a(z egyik) legnagyobb területű körlap. Hagyjuk el a körlapok közül K1-et, valamint az összes olyan körlapot, amelynek van K1-gyel közös pontja. Ismételjük meg az eljárást, ahányszor csak lehet: az i-edik lépésben a megmaradt körlapok közül a legnagyobb területűt jelölje Ki, majd hagyjuk el a körlapok közül Ki-t, valamint az összes olyan még meglévő körlapot, amelynek van Ki-vel közös pontja. Mivel csak véges sok körlapunk van, az eljárás egy idő után véget ér, és kapunk egy véges sorozatot. Az eljárásból adódik, hogy a sorozat bármely két eleme diszjunkt. Nagyítsunk fel minden Ki-t háromszorosára a középpontja körül. Az így kapott
körlapok lefedik az összes körlapot, hiszen minden i-re teljesül, hogy az i-edik lépésben elhagyott körlapokat Ki' tartalmazza. Ezért a
körlapok együttesen legalább T területű részt fednek le a síkon. Ebből következik, hogy a Ki' körlapok területeinek összege is legalább T, a páronként diszjunkt Ki körlapok területeinek összege pedig legalább T/9.
Statistics:
46 students sent a solution. 4 points: Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Aujeszky Tamás, Bartha Zsolt, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Dinh Hoangthanh Attila, Éles András, Énekes Péter, Farkas Márton, Frankl Nóra, Gőgös Balázs, Grósz Dániel, Huszár Kristóf, Kalina Kende, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 999 Noémi, Kristóf Panna, Marák Károly, Márki Róbert, Mészáros András, Nagy 111 Miklós, Nagy 648 Donát, Nagy-Baló András, Perjési Gábor, Réti Dávid, Salát Zsófia, Strenner Péter, Szabó 895 Dávid, Szalkai Balázs, Szirmay-Kalos Barnabás, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Tubak Dániel, Varga 171 László, Véges Márton, Vuchetich Bálint, Wagner Zsolt, Wang Daqian, Weisz Ágoston. 2 points: 1 student. 1 point: 1 student. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2007