Problem B. 4049. (December 2007)

B. 4049. a, b, c are positive real numbers, and $ab+bc+ca=\frac{1}{3}$ . Prove that

$\frac{a}{a^2-bc+1}+\frac{b}{b^2-ca+1}+\frac{c}{c^2-ab+1}\ge\frac{1}{a+b+c}.$

(5 pont)

Deadline expired on January 15, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A nevezőkben 1 helyére a 3t=3(ab+bc+ca) kifejezést beírva, az u=a(a+b+c), v=b(a+b+c), z=c(a+b+c) jelölésekkel a bizonyítandó egyenlőtleséget átírhatjuk

$\frac{u}{u+2t}+\frac{v}{v+2t}+\frac{z}{z+2t}\ge 1$

alakba, amit felszorzás és rendezés után

uvz+t(uv+uz+vz) $\ge$ 4t³

alakra hozhatunk. Az eredeti változókat visszaírva az

$(a+b+c)^2\bigl((a+b+c)abc+(ab+bc+ca)^2\bigr)\ge 4(ab+bc+ca)^3,$

vagy egyszerűbb formában az

(a²+b²+c²)(ab+bc+ca)²+(a+b+c)³abc $\ge$ 2(ab+bc+ca)³

egyenlőtlenséget kell igazolnunk. A műveletek elvégzése után ezt

S(a⁴,b²)+3S(a⁴,b,c) $\ge$ 2S(a³,b³)+S(a³,b²,c)+3a²b²c²

alakra hozhatjuk, ahol

S(a⁴b²)=a²b²+a²b⁴+a⁴c²+a²c⁴+b⁴c²+b²c⁴,

S(a⁴,b,c)=a⁴bc+ab⁴c+abc⁴, S(a³,b³)=a³b³+a³c³+b³c³

és

S(a³,b²,c)=a³b²c+a³bc²+a²b³c+a²bc³+ab³c²+ab²c³.

Mivel tetszőleges x,y pozitív számokra x²+y² $\ge$ 2xy miatt x⁴y²+x²y⁴ $\ge$ x³y³, könnyűszerrel kapjuk, hogy S(a⁴b²) $\ge$ 2S(a³,b³), ahol egyenlőség csak a=b=c esetén lehetséges. Az S(a⁴,b,c) $\ge$ 3a²b²c² egyenlőtlenség a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség közvetlen következménye. Már csak azt kell igazolnunk, hogy 2S(a⁴,b,c) $\ge$ S(a³,b²,c), vagy ami ezzel ekvivalens:

2(a³+b³+c³) $\ge$ a²b+ab²+a²c+ac²+b²c+bc².

Ez pedig azonnal következik a tetszőleges x,y pozitív számokra teljesülő x³+y³ $\ge$ x²y+xy² egyenlőtlenségből, amit (x+y)(x-y)² $\ge$ 0 átrendezésével igazolhatunk. Megoldásunkból az is kiderül, hogy egyenlőség pontosan az a=b=c=1/3 esetben áll fenn.

Statistics:

23 students sent a solution.

5 points: Aczél Gergely, Dudás 002 Zsolt, Huszár Kristóf, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Tossenberger Anna, Varga 171 László.

4 points: Csáforda Tamás, Kiss 243 Réka, Konkoly 001 Csaba, Kovács 729 Gergely, Pasztuhov Anna, Réti Dávid, Wang Daqian.

3 points: 1 student.

2 points: 3 students.

1 point: 3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2007

23 students sent a solution.
5 points:	Aczél Gergely, Dudás 002 Zsolt, Huszár Kristóf, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Tossenberger Anna, Varga 171 László.
4 points:	Csáforda Tamás, Kiss 243 Réka, Konkoly 001 Csaba, Kovács 729 Gergely, Pasztuhov Anna, Réti Dávid, Wang Daqian.
3 points:	1 student.
2 points:	3 students.
1 point:	3 students.

Already signed up?
New to KöMaL?