Problem B. 4050. (December 2007)
B. 4050. Show that the equation x3-x2-2x+1=0 has two real roots a and b, such that a-ab=1.
Suggested by J. Pataki, Budapest
(5 pont)
Deadline expired on January 15, 2008.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Mivel az f(x)=x3-x2-2x+1 függvény a -2 és az 1 helyen negatív, a 0 és a 2 helyeken pedig pozitív értékeket vesz fel, az egyenletnek három különböző valós gyöke van. Jelölje ezeket p,q,r. Azt fogjuk belátni, hogy p-pq és p-pr közül valamelyik 1-gyel egyenlő, ebből három megfelelő a,b gyökpár létezése is következik. A gyökök és együtthatók közötti összefüggés szerint p+q+r=1, pq+qr+rp=-2 és pqr=-1. Ezek alapján
(p-1)+(q-1)+(r-1)=(p+q+r)-3=-2,
(p-1)(q-1)+(q-1)(r-1)+(r-1)(p-1)=(pq+qr+rp)-2(p+q+r)+3=-1
és
(p-1)(q-1)(r-1)=pqr-(pq+qr+rp)+(p+q+r)-1=1
következik, vagyis a páronként különböző p-1, q-1 és r-1 számok éppen az
x3+2x2-x-1=0
egyenlet gyökei. Az egymástól szintén különböző pq, qr és rp számok összege -2, szorzata (pqr)2=1, és ezenkívül
(pq)(qr)+(qr)(rp)+(rp)(pq)=rpq(r+p+q)=-1
teljesül, vagyis ez a három szám is éppen az előbb felírt harmadfokú egyenlet három gyöke. Ezért p-1 megegyezik a pq,qr,rp számok valamelyikével. Ha p-1=qr lenne, akkor qr=-1/p miatt p megoldása lenne az x2-x+1=0 egyenletnek, amelynek viszont nincsen valós megoldása. Ezért vagy p-1=pq, vagy p-1=rp teljesül. Az első esetben p-pq=1, a másodikban p-pr=1, ahogyan azt állítottuk.
Statistics:
85 students sent a solution. 5 points: 55 students. 4 points: 22 students. 3 points: 1 student. 2 points: 1 student. 1 point: 3 students. 0 point: 3 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2007