Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4051. (December 2007)

B. 4051. Prove that every factor of \underbrace{111\ldots1}_{5^n} ends in a 1 for all positive integers n.

(5 pont)

Deadline expired on January 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Elég megmutatni, hogy a szám minden prímosztója 1-esre végződik. Ha a p prímszám osztója az N=(105n-1)/9 számnak, akkor 10^{5^n}\equiv 1\pmod{p}. Ha k a legkisebb pozitív egész, amelyre 10^k\equiv 1\pmod{p}, akkor ezek szerint k\mid 5^n. Mivel N számjegyeinek összege, 5n nem osztható 3-mal, p=3 nem lehetséges, ezért k>1, vagyis 5\mid k. A kis Fermat tétel szerint 10^{p-1}\equiv 1\pmod{p}, hiszen p relatív prím 10-hez, ezért k\mid p-1, vagyis p-1 osztható 5-tel. Mivel p páratlan, p-1 osztható 2-vel, és így 10-zel is, ami az állítást igazolja.


Statistics:

17 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Éles András, Márkus Bence, Nagy 648 Donát, Somogyi Ákos, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Véges Márton.
4 points:Bartha Zsolt, Fonyó Dávid, Szabó 895 Dávid, Tóth 369 László Márton, Zieger Milán.
0 point:2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2007