Problem B. 4074. (March 2008)

B. 4074. C is a given point in the plane, and there is a given circle in the plane. If AB is a diameter of the circle, what is the locus of the orthocentres of triangles ABC?

(4 pont)

Deadline expired on April 15, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha C egybeesik a kör középpontjával, akkor a mértani hely üres, ha a körvonalra esik, akkor a mértani hely egyedül a C pontból áll. A továbbiakban tegyük fel, hogy a C pont c távolságra helyezkedik el az O középpontú r sugarú kör középpontjától, ahol 0<cr. Legyen D a C-nek a körre vonatkozó inverze, vagyis az OC félegyenesnek az a pontja, amely O-tól d=r²/c távolságra van. Tetszőleges P pontra jelölje az vektort p. Ha az ABC háromszög magasságpontát M jelöli, akkor m-a merőleges a c-b vektorra, m-b pedig merőleges a c-a vektorra. Mivel b=-a, a vektorok skaláris szorzatát használva ezt az

(m-a)(c+a)=0,  (m+a)(c-a)=0

összefüggésekkel fejezhetjük ki. Ezeket összeadva 2mc-2a²=0, ahonnan mc=a²=dc, vagyis (m-d)c=0. Az m-d vektor tehát merőleges a c vektorra, vagyis az M pont azon az e egyenesen helyezkedik el, amely merőleges az OC egyenesre és áthalad a D ponton.

Nem nehéz megmutatni, hogy az e egyenes minden pontja a mértani helyhez tartozik. Az e egyenes tetszőleges E pontját C-vel összekötve a körnek létezik pontosan egy EC-re merőleges átmérője. Mivel ez nem eshet az OC egyenesre, az átmérő végpontjait A-val, illetve B-vel jelölve olyan ABC háromszöghöz jutunk, amelynek M magasságpontja nem lehet más, mint az EC egyenes e-vel alkotott E metszéspontja.

Statistics:

50 students sent a solution.
4 points:	Angyal Levente, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Böőr Katalin, Csere Kálmán, Dinh Van Anh, Fonyó Dávid, Gele Viktória, Grósz Dániel, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mezei Márk, Mihálykó Ágnes, Nagy 648 Donát, Nguyen Sy Bang, Perjési Gábor, Prok Tamás, Ratku Antal, Réti Dávid, Salát Zsófia, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Szalkai Balázs, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Véges Márton, Weisz Ágoston.
3 points:	Aczél Gergely, Héricz Dalma, Lenger Dániel, Pacskó Levente, Szepesvári Dávid, Tóth Teodóra, Zieger Milán.
2 points:	1 student.
1 point:	3 students.
0 point:	7 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2008