Problem B. 4088. (April 2008)
B. 4088. P is an interior point of side B1B2 of an acute-angled triangle AB1B2. Let Q denote the reflection of P about point A. Let Di denote the perpendicular projection of P onto the line segment ABi, and let Fi be the midpoint of the line segment DiBi. Prove that if QD1 is perpendicular to PF1, then QD2 is perpendicular to PF2.
Suggested by J. Bodnár, Budapest
(5 pont)
Deadline expired on May 15, 2008.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Válasszuk ki valamelyik i indexet, és legyen Bi=B, Di=D, Fi=F. Megmutatjuk, hogy QD pontosan akkor merőleges PF-re, ha PA merőleges PB-re. Ebből a feladat állítása azonnal következik, hiszen PA nyilván pontosan akkor merőleges PB1-re, ha merőleges PB2-re.
Állításunk bizonyításához jelölje tetszőleges X pontra a vektort x. Ekkor Q és F definíciója miatt q=2a és
. Azt, hogy D a P pontnak az AB szakaszra eső merőleges vetülete, kifejezhetjük a megfelelő vektorok skaláris szorzatával: d(a-d)=d(a-b)=0. Mármost QD pontosan akkor merőleges PF-re, ha (q-d)f=0, vagyis ha (2a-d)(b+d)=0. Azonban
(2a-d)(b+d)=2ab+d(a-d)+d(a-b)=2ab,
tehát a feltétel ekvivalens azzal, hogy ab=0, ami éppen azt jelenti, hogy PA merőleges PB-re.
Statistics:
30 students sent a solution. 5 points: Balázs Barbara Anna, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Grósz Dániel, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 729 Gergely, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Nagy 648 Donát, Szalai Zsófia, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Wang Daqian. 4 points: Aczél Gergely, Bartha Zsolt, Hursán Zsófia, Mezei Márk, Szórádi Márk, Zsupanek Alexandra. 3 points: 1 student. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2008