Problem B. 4097. (May 2008)

B. 4097. Solve the following equation on the set of integers: $2^{\frac{x-y}{y}} - \frac{3}{2}y = 1$ .

(4 pont)

Deadline expired on June 16, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Nyilván y nem lehet 0. 2-vel való beszorzás és átrendezés után az egyenletet 2^x/y=3y+2=z alakra hozhatjuk, ahol z (pozitív) egész szám. Innen azt kapjuk, hogy y is pozitív egész, és 2^x=z^y. A számelmélet alaptétele miatt z 2-hatvány, x pedig olyan pozitív egész, amely osztható y-nal. Mivel 2-nek páros kitevős hatványai 3-mal osztva 1, páratlan kitevős hatványai pedig 3-mal osztva 2 maradékot adnak, x/y páratlan szám. Lévén z $\ge$ 5, kapjuk, hogy x=(2k+1)y alkalmas k pozitív egész számmal, ahonnan

$y=\frac{2^{2k+1}-2}{3}=\frac{2(4^k-1)}{3} \quad \hbox{\rm \'es}\quad x=\frac{(4k+2)(4^k-1)}{3}.$

Könnyen látható, hogy így minden k pozitív egészre egy megfelelő számpárt kapunk.

Statistics:

107 students sent a solution.

4 points: 83 students.

3 points: 12 students.

2 points: 6 students.

1 point: 2 students.

0 point: 4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2008

107 students sent a solution.
4 points:	83 students.
3 points:	12 students.
2 points:	6 students.
1 point:	2 students.
0 point:	4 students.

Already signed up?
New to KöMaL?