Problem B. 4100. (May 2008)
B. 4100. Determine the number of sections the plane is divided by the sides of a regular n-gon.
(4 pont)
Deadline expired on June 16, 2008.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Helyezzük el az oldalegyeneseket egymás után a síkon, figyelemmel kísérve azt, hogy az általuk meghatározott tartományok száma hogyan változik. Kezdetben ez a szám 1, ami az első egyenes elhelyezése után 1-gyel nő. Amikor egy-egy új egyenest elhelyezünk, akkor a tartományok száma (k+1)-gyel nő, ahol k azon, már korábban elhelyezett egyenesek száma, amelyeket az éppen elhelyezett egyenes elmetsz. Ez azért van így, mert egy konvex sokszög oldalegyenesei közül semelyik három nem megy át egy ponton.
Ha n páratlan, akkor az oldalegyenesek közül semelyik kettő nem párhuzamos egymással, ezért az i-edik egyenes elhelyezése alkalmával a tartományok száma pontosan i-vel nő, vagyis az összes egyenes elhelyezése után a tartományok száma
lesz, ennyi részre osztják tehát a szabályos n-szög oldalegyenesei a síkot.
Páros n esetén más a helyzet. Legyen n=2k, és először helyezzük el valamilyen körüljárás szerint az első k oldalegyenest. Mivel ezek közül semelyik kettő nem párhuzamos egymással, az ezután létrejövő tartományok száma lesz. Ezt követően azonban bármelyik egyenest is helyezzük el, az a korábban elhelyezettek közül pontosan eggyel lesz párhuzamos. Ebben az esetben tehát az egyenesek összesen
részre fogják osztani a síkot.
Statistics:
64 students sent a solution. 4 points: 51 students. 3 points: 5 students. 2 points: 3 students. 1 point: 3 students. 0 point: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2008