Problem B. 4104. (September 2008)
B. 4104. Find possible numbers a, b, c, such that (n+3)2=a.(n+2)2+b.(n+1)2+c.n2 for every positive integer n.
(3 pont)
Deadline expired on October 15, 2008.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Mivel (n+3)2=n2+6n+9 és
a.(n+2)2+b.(n+1)2+c.n2=(a+b+c).n2+(4a+2b).n+(4a+b),
azonossághoz jutunk, ha az a,b,c számokra a+b+c=1, 4a+2b=6 és 4a+b=9 egyidejűleg fennáll. Az így kapott egyenletrendszert megoldva látható tehát, hogy ha a=3, b=-3, c=1, akkor a feladatban megfogalmazott összefüggés nemcsak hogy minden n pozitív egész szám esetén, hanem bármely n valós szám esetén is teljesül. Azt is meg lehet mutatni, hogy ez az egyetlen megfelelő számhármas.
Statistics:
284 students sent a solution. 3 points: 124 students. 2 points: 140 students. 1 point: 13 students. 0 point: 7 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2008