Problem B. 4121. (October 2008)
B. 4121. Cards are drawn one by one from a deck of French cards until the hand contains a poker. Given that the first card drawn is an ace, what is the probability that the process terminates with an ace poker?
Suggested by P. Maga
(5 pont)
Deadline expired on November 17, 2008.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Jelölje Kn azt a 4n lapból álló kártyacsomagot, amelyben a lapok 1-től n-ig vannak számozva, és mindegyik fajta lapból 4 darab van. Ebből a csomagból húzzuk addig a lapokat egyesével, amíg 4 egyforma lap nem lesz a kezünkben (ez felel meg a pókernek). Legyen pn annak a valószínűsége, hogy ha az első kihúzott lap 1-es, akkor 1-es pókernél álltunk meg. A feladat p13 meghatározása. Játsszuk el ugyanezt egy olyan Kn' csomaggal is, amely úgy keletkezik, hogy Kn-ből egy 1-estől különböző lapot elvesztünk. Könnyű meggondolni, hogy ha a megfelelő valószínűséget pn'-vel jelöljük, akkor n2 esetén pn'=pn-1, függetlenül attól, hogy melyik 1-estől különböző lapot vesztettük el. Természetesen a kártyalapok összes lehetséges sorrendjét ugyanolyan valószínűnek képzeljük el.
Nyilván p1=1. Megmutatjuk, hogy minden n2 esetén
Valóban, ha az elsőnek kihúzott lap 1-es, akkor esetek 3/(4n-1) részében 1-es lesz a legalsó lap, és ekkor biztosan nem 1-es pókernél fogunk megállni, viszont ha 2in, akkor az esetek 4/(4n-1) részében lesz éppen i a legalsó lap, és ekkor ezt a lapot `elvesztettnek' képzelve látszik, hogy pont pn' annak a valószínűsége, hogy 1-es pókernél állunk meg, vagyis
Ezért a keresett valószínűség
Ez majdnem kétszer akkora, mint annak a valószínűsége, hogy mondjuk 2-es pókernél állunk meg (0,072).
Statistics:
27 students sent a solution. 5 points: Bálint Dániel, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Éles András, Fonyó Dávid, Márkus Bence, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Varga 171 László. 2 points: 4 students. 0 point: 14 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2008