Problem B. 4137. (December 2008)
B. 4137. Let n be a positive integer. Prove that is divisible by 2n-1.
(5 pont)
Deadline expired on January 15, 2009.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Jelölje a szóban forgó kifejezést an. Ha i<0, illetve i>n esetén az binomiális együtthatót 0-nak értelmezzük, akkor ezt
alakban értelmezhetjük, ahol az összegzést az összes k egész számra végezzük ugyan, de az összegnek csak véges sok tagja lesz 0-tól különböző. Könnyen ellenőrizhető az is, hogy a szokásos
azonosság minden i egész szám esetén érvényben marad. Ennek alapján n3 esetén egyrészt
másrészt
vagyis
Innen már n szerinti teljes indukcióval könnyen igazolható, hogy an=2n-1bn teljesül alkalmas bn egész számmal. Valóban, a1=1, a2=2 miatt ez b1=b2=1 választással adódik, n3 esetén pedig az indukciós feltevést alkalmazva
an=2an-1+12an-2=2.2n-2bn-1+12.2n-3bn-2=2n-1(bn-1+3bn-2).
Statistics:
27 students sent a solution. 5 points: Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Éles András, Fonyó Dávid, Huszár Kristóf, Kalina Kende, Kovács 888 Adrienn, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Nagy 648 Donát, Németh Bence, Somogyi Ákos, Varga 171 László, Varju 105 Tamás, Weisz Ágoston. 4 points: Bálint Dániel, Kiss 902 Melinda Flóra, Perjési Gábor, Strenner Péter, Tuan Nhat Le. 1 point: 1 student. 0 point: 3 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2008