Problem B. 4146. (January 2009)
B. 4146. Show that the equation 5x2+3y2=1 has no solutions in the set of rational numbers.
(4 pont)
Deadline expired on February 16, 2009.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben léteznek olyan a,b,c,d egész számok, ahol b,d0, melyekre 5(a/b)2+3(c/d)2=1, vagyis 5(ad)2+3(bc)2=(bd)2 teljesül. Ez azt jelenti, hogy az 5x2+3y2=z2 egyenletnek létezik egész számokból álló megoldása, ahol z0. Tekintsünk egy olyan (x,y,z) megoldást, ahol z abszolút értéke a lehető legkisebb. Ha x nem osztható 3-mal, akkor x2 3-mal osztva 1 maradékot ad, 5x2 pedig ennek megfelelően 2-t. Vagyis z2 is 2 maradékot kell adjon 3-mal osztva, ami nem lehet. Ezért , vagyis z2=5x2+3y2 is osztható 3-mal. Következésképpen , ahonnan , , végül adódik. Ekkor azonban az x1=x/3, y1=y/3, z1=z/30 egész számokra teljesül 5x12+3y12=z12, és |z1|<|z|. Ez az ellentmondás igazolja a feladat állítását.
Statistics:
101 students sent a solution. 4 points: 67 students. 3 points: 8 students. 2 points: 7 students. 1 point: 5 students. 0 point: 13 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2009