Problem B. 4151. (January 2009)

B. 4151. Let $\alpha$ = $\pi$ /14. Evaluate sin $\alpha$ ^.sin 3 $\alpha$ ^.sin 5 $\alpha$ .

(4 pont)

Deadline expired on February 16, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A sin x=cos ( $\pi$ /2-x) összefüggés segítségével írjuk át a kifejezést

$K=\cos\frac{\pi}{7}\cdot\cos\frac{2\pi}{7}\cdot\cos\frac{3\pi}{7}$

alakra. A 2cos xcos y=cos (x-y)+cos (x+y) képlet ismételt alkalmazásával

$K=\frac{1}{2}\cos\frac{2\pi}{7}\Bigl(\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7} \Bigr)=\frac{1}{4}\Bigl(\cos0+\cos\frac{2\pi}{7}+ \cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}\Bigr)=$

$=\frac{1}{8}\Bigl(1+\cos0+\cos\frac{2\pi}{7}+ \cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{8\pi}{7}+ \cos\frac{10\pi}{7}+\cos\frac{12\pi}{7}\Bigr).$

Tekintsük azt az origó középpontú egységsugarú körbe írt szabályos hétszöget, amelynek egyik csúcsa az (1;0) pont. Szimmetria okokból az origóból a hétszög csúcsaiba mutató vektorok összege nulla. Ugyanakkor ennek az összegvektornak az első koordinátája éppen az előbbi zárójelben található hét koszinusz összege, vagyis ez utóbbi értéke 0. Így hát a keresett érték K=1/8.

Statistics:

66 students sent a solution.

4 points: 58 students.

2 points: 1 student.

1 point: 2 students.

0 point: 5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2009

66 students sent a solution.
4 points:	58 students.
2 points:	1 student.
1 point:	2 students.
0 point:	5 students.

Already signed up?
New to KöMaL?