Problem B. 4153. (February 2009)

B. 4153. The centre of the circumscribed circle of triangle ABC is O, and its orthocentre is M. Mark the points E and F on the lines of sides AC and AB, respectively, at distances of AO and AM from A. Prove that EF=AO.

(4 pont)

Deadline expired on March 16, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A feladat sajnos pontatlanul került kitűzésre, az állítás nyilvánvalóan hamis, ha az A csúcsnál lévő $\alpha$ szög tompaszög. A megoldás során feltesszük tehát, hogy nem ez a helyzet. Ha $\alpha$ =90^o, akkor M=A=F, és az állítás magától értetődő. Legyen tehát $\alpha$ hegyesszög. Szimmetria okok miatt feltehetjük, hogy a B csúcsnál is hegyesszög van, ekkor az M és C pontok az AB egyenesnek ugyanazon az oldalán helyezkednek el.

Ismeretes, hogy ekkor az M pontnak az AB szakaszra vett M' tükörképe a körülírt körre esik, amint arről egyszerű szögszámolással is meggyőződhetünk. Ezért a szinusz-tétel értelmében AF=AM=AM'=2Rsin (90^o- $\alpha$ )=2Rcos $\alpha$ , ahol R=AO=AE a körülírt kör sugara. Megállapíthatjuk tehát, hogy AF=2AEcos $\alpha$ . Az AEF háromszögre a koszinusz-tételt felírva

EF²=AE²+AF²-2AE^.AFcos $\alpha$ =AE²,

vagyis valóban EF=AE=AO.

Statistics:

46 students sent a solution.

4 points: Blázsik Zoltán, Botos Csongor, Csere Kálmán, Éles András, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Janosov Milán, Kiss 902 Melinda Flóra, Kunos Vid, Lantos Tamás, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Márkus Bence, Mester Márton, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Varga 171 László, Weisz Ágoston.

3 points: Balla Attila, Beke Lilla, Béres Ferenc, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Dinh Hoangthanh Attila, Egyed Zsombor, Győrfi 946 Mónika, Kiss Boldizsár, Korondi Zénó, Kovács 888 Adrienn, Kovács 999 Noémi, Milánkovich Dorottya, Morapitiye Sunil, Muszka Balázs, Németh 217 Balázs, Szabó 928 Attila, Szenczi Zoltán, Tóth Tekla, Török 999 Csaba, Vuchetich Bálint, Weisz Gellért, Welsz Edit.

2 points: 3 students.

0 point: 1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2009

46 students sent a solution.
4 points:	Blázsik Zoltán, Botos Csongor, Csere Kálmán, Éles András, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Janosov Milán, Kiss 902 Melinda Flóra, Kunos Vid, Lantos Tamás, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Márkus Bence, Mester Márton, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Varga 171 László, Weisz Ágoston.
3 points:	Balla Attila, Beke Lilla, Béres Ferenc, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Dinh Hoangthanh Attila, Egyed Zsombor, Győrfi 946 Mónika, Kiss Boldizsár, Korondi Zénó, Kovács 888 Adrienn, Kovács 999 Noémi, Milánkovich Dorottya, Morapitiye Sunil, Muszka Balázs, Németh 217 Balázs, Szabó 928 Attila, Szenczi Zoltán, Tóth Tekla, Török 999 Csaba, Vuchetich Bálint, Weisz Gellért, Welsz Edit.
2 points:	3 students.
0 point:	1 student.

Already signed up?
New to KöMaL?