Problem B. 4217. (November 2009)

B. 4217. Let a, b, c denote the sides of an acute triangle and let $\gamma$ , $\beta$ , $\alpha$ , respectively, denote the opposite angles (in radians). Show that $\frac{\pi}{3}\le \frac{\alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2}{a^2+b^2+c^2}<\frac{\pi}{2}$ .

(4 pont)

Deadline expired on December 10, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a háromszög szabályos, akkor a kifejezés értéke $\displaystyle \pi/3$. Belátjuk, hogy minden más esetben ennél határozottan nagyobb, de kisebb, mint $\displaystyle \pi/2$. Feltehetjük, hogy $\displaystyle a\le b\le c$, $\displaystyle a<c$, vagyis $\displaystyle \alpha\le \beta\le \gamma$, $\displaystyle \alpha<\gamma$, ahol két szög pontosan akkor egyenlő, ha a nekik megfelelő oldalak egyenlő hosszúak. A bizonyítás alapja a következő állítás. Legyen $\displaystyle A,B,\tau$ rögzített. Ha $\displaystyle A=B$, akkor az $\displaystyle f(x)=A(\tau-x)+B(x)$ függvény értéke az $\displaystyle x$-től független $\displaystyle A\tau$ állandó, $\displaystyle A<B$ esetén viszont $\displaystyle f(x)$ szigorúan monoton növekedő, hiszen ekkor $\displaystyle x_1<x_2$ esetén $\displaystyle f(x_2)-f(x_1)=(B-A)(x_2-x_1)>0$.

A felső becsléshez legyen $\displaystyle \beta=\pi/2-\alpha_1$, $\displaystyle \gamma=\pi/2-\alpha_2$, ahol a pozitív $\displaystyle \alpha_1$ és $\displaystyle \alpha_2$ számok összege éppen $\displaystyle \alpha$. Az állítás szerint $\displaystyle a^2\alpha_1+b^2\beta\le a^2\cdot 0+b^2(\pi/2)$ és $\displaystyle a^2\alpha_2+c^2\gamma< a^2\cdot 0+c^2(\pi/2)$, vagyis valóban

$\displaystyle {\alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2} =(a^2\alpha_1+b^2\beta)+(a^2\alpha_2+c^2\gamma)<\frac{\pi}{2}(b^2+c^2)< \frac{\pi}{2}(a^2+b^2+c^2).$

Az alsó becsléshez tegyük fel először azt, hogy $\displaystyle \beta\ge\pi/3$, vagyis $\displaystyle \beta=\pi/3+\beta_1$, $\displaystyle \gamma=\pi/3+\gamma_1$, $\displaystyle \alpha=\pi/3-\beta_1-\gamma_1$, ahol $\displaystyle 0\le \beta_1\le \gamma_1$ és $\displaystyle \gamma_1>0$. Ekkor az állítás ismételt alkalmazásával

$\displaystyle \alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2>\left(\frac{\pi}{3}-\beta_1\right)a^2 +\beta b^2+\frac{\pi}{3}c^2\ge \frac{\pi}{3}(a^2+b^2+c^2).$

Ha pedig $\displaystyle \alpha=\pi/3-\alpha_1$, $\displaystyle \beta=\pi/3-\beta_1$ és $\displaystyle \gamma=\pi/3+ \beta_1+\alpha_1$, ahol $\displaystyle 0<\beta_1\le \alpha_1$, akkor

$\displaystyle \alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2>\alpha a^2 +\frac{\pi}{3} b^2+\left(\frac{\pi}{3}+\alpha_1\right)c^2> \frac{\pi}{3}(a^2+b^2+c^2),$

ahogyan azt állítottuk.

Statistics:

77 students sent a solution.

4 points: 59 students.

3 points: 5 students.

2 points: 9 students.

1 point: 1 student.

0 point: 3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2009

77 students sent a solution.
4 points:	59 students.
3 points:	5 students.
2 points:	9 students.
1 point:	1 student.
0 point:	3 students.

Already signed up?
New to KöMaL?