Problem B. 4223. (December 2009)
B. 4223. Consider the number pairs (1,36), (2,35), ..., (12,25). Is it possible to select one number from each given pair, such that the sum of the numbers selected equals the sum of the numbers not selected? Will the answer change if the last two pairs are left out?
(Suggested by J. Pataki, Budapest)
(4 pont)
Deadline expired on January 11, 2010.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Ha az 1., 4., 5., 8., 9. és 12. számpárból az első elemet, a maradék hatból pedig a második elemet választjuk ki, akkor mind a kiválasztott, mind a ki nem választott számok összege egyaránt \(\displaystyle 6\times 37=222\) lesz. Ezzel szemben, ha elhagyjuk az utolsó két számpárt, akkor a kiválasztás már nem valósítható meg kívánt módon. Ekkor ugyanis 10 számpárunk van úgy, hogy bennük található számok összege \(\displaystyle 10\times 37\), de nem lehet mindegyikből egy-egy számot úgy kiválasztani, hogy azok összege \(\displaystyle 5\times 37=185\) legyen.
Valóban, ha hat olyan számpár is van, amelyikből a második, vagyis a nagyobbik számot választjuk ki, akkor a kiválasztott számok összege legalább
\(\displaystyle (27+28+29+30+31+32)+(1+2+3+4)=187,\)
ha pedig legfeljebb négy számpárból választjuk a nagyobbik számot, akkor a ki nem választott számok összege lesz legalább ennyi. Végül ha pontosan öt olyan számpár van, amelyikből a kisebb számot választottuk, akkor legyen ezek között a páratlanok száma \(\displaystyle c\), a párosoké pedig \(\displaystyle 5-c\). A megmaradt számpárok közül tehát \(\displaystyle 5-c\) esetben lesz páratlan a kisebbik szám, \(\displaystyle c\) esetben pedig páros. Mivel ezekből a számpárokból a nagyobbik számot választottuk, és minden egyes számpáron belül a kisebbik és a nagyobbik szám paritása ellentétes, összesen \(\displaystyle 2c\) darab páratlan számot választottunk ki, vagyis a kiválasztott számok összege ebben az esetben mindenképpen páros, így nem lehet 185.
Statistics:
150 students sent a solution. 4 points: 63 students. 3 points: 10 students. 2 points: 21 students. 1 point: 42 students. 0 point: 9 students. Unfair, not evaluated: 5 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2009