Problem B. 4224. (December 2009)

B. 4224. The lengths of the diagonals of a rhombus with side 2 units are added. What integer values may the sum have?

(Suggested by G. Nyul)

(3 pont)

Deadline expired on January 11, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje az átlók hosszát \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\). Ekkor a Pithagorasz-tétel szerint \(\displaystyle (a/2)^2+(b/2)^2=2^2\),

\(\displaystyle 16=a^2+b^2<(a+b)^2\le 2(a^2+b^2)=32.\)

Ezért ha \(\displaystyle a+b\) egész, akkor csak \(\displaystyle a+b=5\) jöhet szóba. Ilyen rombusz pontosan akkor létezik, ha az \(\displaystyle a+b=5\), \(\displaystyle a^2+b^2=16\) egyenletrendszernek létezik megoldása a pozitív számok körében. Mivel \(\displaystyle (a-b)^2=2(a^2+b^2)-(a+b)^2\), az egyenletrendszer ekvivalens az \(\displaystyle a+b=5\), \(\displaystyle (a-b)^2={7}\) egyenletrendszerrel, melynek megoldásai

\(\displaystyle a=\frac{5\pm\sqrt{7}}{2},\quad b=\frac{5\mp\sqrt{7}}{2}.\)

Mivel ezek pozitív számok, a rombusz átlóinak összege egyedül az 5 egész szám lehet.

Statistics:

162 students sent a solution.
3 points:	109 students.
2 points:	11 students.
1 point:	17 students.
0 point:	20 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2009