Problem B. 4225. (December 2009)

B. 4225. Solve the simultaneous equations

$\frac{\sqrt{x+z}+\sqrt{x+y}}{\sqrt{y+z}} + \frac{\sqrt{y+z}+\sqrt{x+y}}{\sqrt{x+z}} &= 14 - 4\sqrt{x+z}- 4\sqrt{y+z},$

$\sqrt{x+z}+\sqrt{x+y} +\sqrt{z+y} &= 4.$

(Suggested by B. Bíró)

(3 pont)

Deadline expired on January 11, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vezessük be az $\displaystyle a=\sqrt{y+z}$, $\displaystyle b=\sqrt{x+z}$, $\displaystyle c=\sqrt{x+y}$ jelöléseket, itt $\displaystyle c$ nemnegatív, $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ pedig pozitív szám. Ekkor a második egyenlet $\displaystyle a+b+c=4$, míg az első

$\displaystyle \frac{4-a}{a}+\frac{4-b}{b}=14-4a-4b,$

átrendezés és 4-gyel történő leosztás után pedig

$\displaystyle \left(a+\frac{1}{a}\right)+\left(b+\frac{1}{b}\right)=4$

alakra hozható. Ennek megoldása $\displaystyle a=b=1$, $\displaystyle c=2$, hiszen pozitív $\displaystyle x$ esetén $\displaystyle x+\frac{1}{x}\ge 2$, ahol egyenlőség csak $\displaystyle x=1$ esetén áll fenn. Vagyis $\displaystyle y+z=x+z=1$, $\displaystyle x+y=4$, az egyenletrendszer megoldása pedig $\displaystyle x=y=2$, $\displaystyle z=-1$.

Statistics:

116 students sent a solution.

3 points: 75 students.

2 points: 35 students.

1 point: 4 students.

Unfair, not evaluated: 2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2009

116 students sent a solution.
3 points:	75 students.
2 points:	35 students.
1 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?