Problem B. 4227. (December 2009)

B. 4227. Is it true that if there exists a quadrilateral with sides a, b, c and d then there exists such a cyclic quadrilateral, too?

(4 pont)

Deadline expired on January 11, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A megadott szakaszokból pontosan akkor szerkeszthető négyszög, ha bármelyik három (hosszának) összege nagyobb a negyediknél. Megmutatjuk, hogy ha az teljesül, akkor létezik olyan húrnégyszög, melynek oldalai \(\displaystyle a,b,c,d\) hosszúak, az előírt sorrendben. A megoldás alapján könnyen megadható olyan szerkesztési eljárás is, amely az egybevágóság erejéig egyértelmű megoldást szolgáltatja.

Tegyük fel, hogy

\(\displaystyle \max\{|a-b|,|c-d|\}<f<\min\{a+b,c+d\}.\)

Ekkor egy \(\displaystyle f\) hosszúságú \(\displaystyle AC\) szakasz két különböző oldalára megszerkesztehető egy-egy \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle ADC\) háromszög úgy, hogy \(\displaystyle AB=a\), \(\displaystyle BC=b\), \(\displaystyle CD=c\) és \(\displaystyle DA=d\) legyen. A két háromszög egyesítése pontosan akkor lesz húrnégyszög, ha a \(\displaystyle B\)-nél lévő \(\displaystyle \beta\) és a \(\displaystyle D\)-nél lévő \(\displaystyle \delta\) szögre \(\displaystyle \beta+\delta=180^\circ\), vagyis ha \(\displaystyle \cos\beta+\cos\delta=0\). Mivel a koszinusz-tétel szerint

\(\displaystyle \cos\beta=\frac{a^2+b^2-f^2}{2ab}\qquad \hbox{ill.}\qquad \cos\delta=\frac{c^2+d^2-f^2}{2cd},\)

ez pontosan akkor teljesül, ha

\(\displaystyle f^2=x=\frac{(a^2+b^2)cd+(c^2+d^2)ab}{ab+cd}.\)

Azt kell tehát csak ellenőriznünk, hogy erre az \(\displaystyle x\) számra

\(\displaystyle \max\{(a-b)^2,(c-d)^2\}<x<\min\{(a+b)^2,(c+d)^2\}\)

teljesül. Az \(\displaystyle x<(a+b)^2\) feltétel ekvivalens az

\(\displaystyle (a^2+b^2)cd+(c^2+d^2)ab<(a^2+2ab+b^2)(ab+cd)\)

feltétellel, ami rendezés és \(\displaystyle ab\)-vel történő leosztás után \(\displaystyle (c-d)^2<(a+b)^2\) alakra hozható. Ez teljesül, hiszen \(\displaystyle c-d<a+b\) és \(\displaystyle d-c<a+b\) is fennáll. Szimmetria okok miatt \(\displaystyle x<(c+d)^2\) is teljesül. Az \(\displaystyle x>(a-b)^2\) feltétel pedig ekvivalens az

\(\displaystyle (a^2+b^2)cd+(c^2+d^2)ab>(a^2-2ab+b^2)(ab+cd)\)

feltétellel, amit hasonlóképpen \(\displaystyle (c+d)^2>(a-b)^2\) alakra hozhatunk. Ez is teljesül tehát, és ugyanígy \(\displaystyle x>(c-d)^2\) is.

Statistics:

48 students sent a solution.
4 points:	Bősze Zsuzsanna, Cséke Balázs, Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Hegedűs Csaba, Janzer Olivér, Kószó Simon, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Réti Dávid, Szabó 928 Attila, Tóth 222 Barnabás, Varju 105 Tamás, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
3 points:	Karl Erik Holter, Kiss 902 Melinda Flóra, Mailach Petra.
2 points:	5 students.
1 point:	7 students.
0 point:	14 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2009