Problem B. 4232. (January 2010)

B. 4232. Two sailboats are travelling in perpendicular directions on the lake Balaton at the same speed of 10 km/h. At a given time instant, while both are approaching the intersection of their paths, the respective distances of sailboats \(\displaystyle A\) and \(\displaystyle B\) are 1 km and 2 km from that point. A man travelling in boat \(\displaystyle A\) wants to swim to boat \(\displaystyle B\). He swims at a uniform speed of 2 km/h. When should he jump in the water in order to minimise the time spent in the water?

Suggested by L. Koncz

(4 pont)

Deadline expired on February 10, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vegyünk fel egy derékszögő koordinátarendszert, melynek középpontja a képzeletbeli metszéspontban van, a két hajó helyzetét pedig az \(\displaystyle A(-1;0)\), illetve \(\displaystyle B(0;-2)\) pontok adják meg, vagyis az egység mindkét tengelyen éppen 1 km, a hajók pedig az egyes koordinátatengelyeken haladnak pozitív irányban. Tegyük fel, hogy az ember a \(\displaystyle C(c;0)\) pontban ugrik a vízbe, majd a \(\displaystyle D(0;d)\) pontban találkozik a másik hajóval, ekkor legalább \(\displaystyle t_0=\sqrt{c^2+d^2}/2\) órát tartózkodik a vízben, méghozzá pontosan akkor nem többet, ha a \(\displaystyle C\) pontból azonnal elkezd teljes sebességgel úszni a \(\displaystyle D\) pont felé, ahová a \(\displaystyle B\) hajóval egyszerre érkezik meg. Az optimális esetben éppen ennek kell megtörténnie. Ha ugyanis \(\displaystyle t>t_0\) ideig tartózkodna a vízben, akkor megtehetné azt, hogy \(\displaystyle t_0\) idő alatt átúszik \(\displaystyle D\)-be, ahol még maradna \(\displaystyle t-t_0\) ideje, amíg a \(\displaystyle B\) hajó odaér. Ekkor azonban a \(\displaystyle B\) hajóval szembeúszva, azzal már hamarabb összetalálkozhatna, amivel \(\displaystyle (t-t_0)/6\) órát megtakaríthatna.

Az optimális esetben tehát ugyanazon \(\displaystyle t_0\) idő alatt a \(\displaystyle B\) hajó \(\displaystyle 2+d-(1+c)=1-c+d\) km utat tesz meg, vagyis fenn kell állnia az \(\displaystyle 1-c+d=5\sqrt{c^2+d^2}\) összefüggésnek. Felhasználva, hogy \(\displaystyle (x+y)^2\le 2(x^2+y^2)\), innen

\(\displaystyle 1=5\sqrt{c^2+d^2}+(c-d)\le (5+\sqrt{2})\sqrt{c^2+d^2}\)

adódik, vagyis

\(\displaystyle t_0\ge\frac{1}{2(5+\sqrt{2})}.\)

Mivel egyenlőség csakis a

\(\displaystyle c=-d=\frac{1}{\sqrt{2}(5+\sqrt{2})}\)

esetben állhat fenn, innen már könnyő meggondolni, hogy az embernek a képzeletbeli metszéspont elhagyása után

\(\displaystyle \frac{1}{10\sqrt{2}(5+\sqrt{2})}\)

óra (nem egészen 40 mp) elteltével kell beugrania a vízbe.

Statistics:

68 students sent a solution.
4 points:	Béres Ferenc, Bogár Blanka, Csere Kálmán, Dunay Luca, Éles András, Gyarmati Máté, Janzer Olivér, Karkus Zsuzsa, Kiss 991 Mátyás, Korondi Zénó, Kovács 235 Gábor, Máthé László, Mihálka Éva Zsuzsanna, Nagy 111 Miklós, Nánási József, Pataki Bálint Ármin, Sieben Bertilla, Szabó 124 Zsolt, Tossenberger Tamás, Varju 105 Tamás, Vuchetich Bálint, Weimann Richárd, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
3 points:	Csizmadia Luca, Halász Dániel, Iglói Gábor, Jernei Tamás, Kiss 902 Melinda Flóra, Medek Ákos, Neukirchner Elisabeth, Perjési Gábor, Solti Bálint.
2 points:	1 student.
1 point:	4 students.
0 point:	22 students.
Unfair, not evaluated:	8 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2010