Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4235. (January 2010)

B. 4235. The sides of a convex quadrilateral \(\displaystyle ABCD\) are divided into \(\displaystyle n\ge 2\) equal parts. On the sides \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\), \(\displaystyle DA\), let \(\displaystyle A_k\), \(\displaystyle B_k\), \(\displaystyle C_k\), \(\displaystyle D_k\) denote the \(\displaystyle k\)th points of division, counting from the vertices \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), respectively. For which pairs \(\displaystyle (n,k)\) is it true that the quadrilateral \(\displaystyle ABCD\) is a parallelogram if and only if the quadrilateral \(\displaystyle A_kB_kC_kD_k\) is also a parallelogram?

Suggested by G. Mészáros, Kemence

(3 pont)

Deadline expired on February 10, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jól ismert iskolapélda, hogy tetszőleges konvex négyszög oldalfelező pontjai egy parellelogrammát határoznak meg. Ezért ha \(\displaystyle n\) páros, akkor \(\displaystyle k=n/2\) esetén az állítás nem lehet igaz. Belátjuk, hogy minden más esetben viszont teljesül az állítás, feltéve persze, hogy a \(\displaystyle k\) szám \(\displaystyle n\)-nél kisebb pozitív egész. Az nyilvánvaló, hogy ha az \(\displaystyle ABCD\) négyszög parallelogramma, akkor a középpontja körüli \(\displaystyle 180^\circ\)-os forgatás az \(\displaystyle A_kB_kC_kD_k\) konvex négyszöget is saját magába viszi, vagyis az is parallelogramma lesz. Az alábbiakban tehát azt fogjuk igazolni, hogy ha \(\displaystyle n\ne 2k\) és az \(\displaystyle A_kB_kC_kD_k\) négyszög parallelogramma, akkor az \(\displaystyle ABCD\) négyszög is szükségképpen az.

Egy rögzített pontból a sík tetszőleges \(\displaystyle P\) pontjába mutató helyvektort jelölje \(\displaystyle {\bf p}\). Mivel az új négyszög csúcsai az eredeti négyszög oldalait \(\displaystyle k:(n-k)\) arányban osztják,

\(\displaystyle {\bf a_k}=\frac{k{\bf b}+(n-k){\bf a}}{n},\ {\bf b_k}=\frac{k{\bf c}+(n-k){\bf b}}{n}, {\bf c_k}=\frac{k{\bf d}+(n-k){\bf c}}{n},\ {\bf d_k}=\frac{k{\bf a}+(n-k){\bf d}}{n}.\)

Az \(\displaystyle XYZV\) konvex négyszög pontosan akkor parallelogramma, ha \(\displaystyle {\bf y}-{\bf x}={\bf z}-{\bf v}\), vagyis ha \(\displaystyle {\bf y}+{\bf v}-{\bf x}-{\bf z}={\bf 0}\). Ha tehát az \(\displaystyle A_kB_kC_kD_k\) négyszög parallelogramma, akkor a fentiek miatt

\(\displaystyle \frac{n-2k}{n}({\bf b}+{\bf d}-{\bf a}-{\bf c})={\bf 0}.\)

Amennyiben \(\displaystyle n\ne 2k\), úgy ebből \(\displaystyle {\bf b}+{\bf d}-{\bf a}-{\bf c}={\bf 0}\) következik, vagyis az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög is parallelogramma.


Statistics:

39 students sent a solution.
3 points:Bálint Csaba, Bogár Blanka, Böőr Katalin, Csuka Róbert, Éles András, Hajdók Soma, Janzer Olivér, Jernei Tamás, Keresztfalvi Tibor, Kiss 902 Melinda Flóra, Kószó Simon, Köpenczei Gergő, Medek Ákos, Mihálka Éva Zsuzsanna, Szabó 928 Attila, Udvari Benjámin, Uray Marcell János, Zsakó András.
2 points:Bicskei Dávid, Bősze Zsuzsanna, Csere Kálmán, Gyarmati Máté, Kovács 235 Gábor, Neukirchner Elisabeth, Szili László.
1 point:6 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2010