Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4238. (January 2010)

B. 4238. Show that the points of the curve of equation \sqrt{X}+\sqrt{Y}=1 lie on a parabola.

(4 pont)

Deadline expired on February 10, 2010.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Megmutatjuk, hogy a görbe minden pontja ugyanolyan távol van az \(\displaystyle F(1/2;1/2)\) ponttól, mint az \(\displaystyle X+Y=0\) egyenlető \(\displaystyle e\) egyenestől, vagyis illeszkedik arra a parabolára, amelynek fókuszpontja \(\displaystyle F\), vezéregyenese pedig \(\displaystyle e\).

A \(\displaystyle P(X;Y)\) pontnak az \(\displaystyle e\) egyenestől vett távolsága \(\displaystyle d_e=(X+Y)/\sqrt{2}\), az \(\displaystyle F\) ponttól vett távolsága pedig

\(\displaystyle d_F=\sqrt{\left(X-\frac{1}{2}\right)^2+\left(Y-\frac{1}{2}\right)^2}.\)

Minthogy a görbe minden \(\displaystyle P(X;Y)\) pontjára \(\displaystyle X,Y\ge 0\), a \(\displaystyle d_e=d_F\) feltétel a görbe pontjaira ekvivalens a \(\displaystyle d^2_e=d_F^2\), vagyis a

\(\displaystyle \frac{(X+Y)^2}{2}={\left(X-\frac{1}{2}\right)^2+\left(Y-\frac{1}{2}\right)^2}\)

feltétellel, amit azonos átalakításokkal

\(\displaystyle X^2+Y^2-2XY-2X-2Y+1=0\)

alakra hozhatunk.

Mivel a görbe minden \(\displaystyle P(X;Y)\) pontjára \(\displaystyle X+Y+2\sqrt{XY}=1\), vagyis \(\displaystyle 4XY=(1-X-Y)^2\) teljesül, a görbe pontjai ezt a feltételt valóban kielégítik.


Statistics:

79 students sent a solution.
4 points:51 students.
3 points:13 students.
2 points:3 students.
1 point:5 students.
0 point:7 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2010