Problem B. 4238. (January 2010)
B. 4238. Show that the points of the curve of equation lie on a parabola.
(4 pont)
Deadline expired on February 10, 2010.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Megmutatjuk, hogy a görbe minden pontja ugyanolyan távol van az \(\displaystyle F(1/2;1/2)\) ponttól, mint az \(\displaystyle X+Y=0\) egyenlető \(\displaystyle e\) egyenestől, vagyis illeszkedik arra a parabolára, amelynek fókuszpontja \(\displaystyle F\), vezéregyenese pedig \(\displaystyle e\).
A \(\displaystyle P(X;Y)\) pontnak az \(\displaystyle e\) egyenestől vett távolsága \(\displaystyle d_e=(X+Y)/\sqrt{2}\), az \(\displaystyle F\) ponttól vett távolsága pedig
\(\displaystyle d_F=\sqrt{\left(X-\frac{1}{2}\right)^2+\left(Y-\frac{1}{2}\right)^2}.\)
Minthogy a görbe minden \(\displaystyle P(X;Y)\) pontjára \(\displaystyle X,Y\ge 0\), a \(\displaystyle d_e=d_F\) feltétel a görbe pontjaira ekvivalens a \(\displaystyle d^2_e=d_F^2\), vagyis a
\(\displaystyle \frac{(X+Y)^2}{2}={\left(X-\frac{1}{2}\right)^2+\left(Y-\frac{1}{2}\right)^2}\)
feltétellel, amit azonos átalakításokkal
\(\displaystyle X^2+Y^2-2XY-2X-2Y+1=0\)
alakra hozhatunk.
Mivel a görbe minden \(\displaystyle P(X;Y)\) pontjára \(\displaystyle X+Y+2\sqrt{XY}=1\), vagyis \(\displaystyle 4XY=(1-X-Y)^2\) teljesül, a görbe pontjai ezt a feltételt valóban kielégítik.
Statistics:
79 students sent a solution. 4 points: 51 students. 3 points: 13 students. 2 points: 3 students. 1 point: 5 students. 0 point: 7 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2010