Problem B. 4239. (January 2010)

B. 4239. Solve the equation 8x(2x²-1)(8x⁴-8x²+1)=1.

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha \(\displaystyle |x|>1\), akkor \(\displaystyle 2x^2-1>1\) és így \(\displaystyle 8x^4-8x^2+1=2(2x^2-1)^2-1>1\) is igaz, vagyis az egyenlet baloldalán álló kifejezés abszolút értéke nagyobb 8-nál. Ezért minden \(\displaystyle x\) megoldásra \(\displaystyle |x|\le 1\), és az \(\displaystyle x=\cos t\) helyettesítéssel az egyenlet \(\displaystyle 8\cos t\cos 2t\cos 4t=1\) alakban írható fel, amit \(\displaystyle 2\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\) összefüggés ismételt felhasználásával

\(\displaystyle 2(\cos t+\cos 3t+\cos 5t+\cos 7t)-1=0\)

alakra hozhatunk.

Az egyenlet egy nyilvánvaló megoldása \(\displaystyle x=1/2\). A többi megoldás megtalálásához vegyük észre, hogy minden \(\displaystyle n\ge3\) egész számra

\(\displaystyle \cos\frac{2\pi}{n}+\cos\frac{4\pi}{n}+\cos\frac{6\pi}{n}+\ldots +\cos\frac{2n\pi}{n}=0.\)

Ez azért van így, mert egy szabályos \(\displaystyle n\)-szög középpontjából a csúcsokba mutató vektorok összege 0, hiszen nem változik meg, ha elforgatjuk \(\displaystyle 2\pi/n\) szöggel. Ha úgy veszünk fel egy derékszögő koordinátarendszert, hogy a sokszög középpontja az origó, egyik csúcsa pedig az \(\displaystyle (1;0)\) pont legyen, akkor a fenti összeg éppen a csúcsokba mutató vektorok összegének első koordinátája, ezért 0.

Ha ezt az összefüggést \(\displaystyle n=7\) esetén alkalmazzuk, akkor láthatjuk, hogy \(\displaystyle t=2\pi/7\) megoldása a fenti trigonometrikus egyenletnek, hiszen ekkor \(\displaystyle 2\cos t=\cos t+\cos6t\), \(\displaystyle 2\cos 3t=\cos3t+\cos4t\), \(\displaystyle 2\cos5t=\cos2t+\cos5t\) és \(\displaystyle 2\cos7t-1=\cos7t\). Hasonlóképpen \(\displaystyle t=4\pi/7\) és \(\displaystyle t=6\pi/7\) is megoldásnak adódik. Az \(\displaystyle n=9\) választással pedig ellenőrizhetjük, hogy \(\displaystyle t=\pi/9\) is megoldás, hiszen ekkor

\(\displaystyle 2\cos t=-\cos\frac{8\pi}{9}-\cos\frac{10\pi}{9},\qquad 2\cos 3t=-\cos\frac{6\pi}{9}-\cos\frac{12\pi}{9},\)

\(\displaystyle 2\cos 5t=-\cos\frac{4\pi}{9}-\cos\frac{14\pi}{9},\qquad 2\cos 7t=-\cos\frac{2\pi}{9}-\cos\frac{16\pi}{9},\qquad -1=\cos\frac{18\pi}{9}.\)

Hasonlóképpen megoldásnak adódik \(\displaystyle t=5\pi/9\) és \(\displaystyle t=7\pi/9\) is.

Mivel az eredeti egyenlet hetedfokú és annak az

\(\displaystyle x_1=\frac{1}{2},\quad x_2=\cos\frac{2\pi}{7},\quad x_3=\cos\frac{4\pi}{7}, \quad x_4=\cos\frac{6\pi}{7},\)

\(\displaystyle x_5=\cos\frac{\pi}{9}, \quad x_6=\cos\frac{5\pi}{9},\quad x_7=\cos\frac{7\pi}{9}\)

számok páronként különböző megoldásai, ezzel meg is találtuk az egyenlet összes megoldását.

Statistics:

65 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Tamás, Árvay Balázs, Cséke Balázs, Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Freud Edvin, Jernei Tamás, Keresztfalvi Tibor, Kiss 902 Melinda Flóra, Korondi Zénó, Magyar Eszter, Márkus Bence, Máthé László, Medek Ákos, Mester Márton, Mészáros András, Nagy Balázs, Nagy Róbert, Németh Bence, Neukirchner Elisabeth, Pálfi Bence, Perjési Gábor, Popper Dávid, Réti Dávid, Sándor Áron Endre, Somogyi Ákos, Szili László, Tóth 222 Barnabás, Varga Vajk, Varju 105 Tamás, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
4 points:	Csizmadia Luca, Frittmann Júlia, Hegedűs Csaba, Karl Erik Holter, Kovács 444 Áron, Nagy 111 Miklós, Nguyen Milán, Szabó 928 Attila, Trauttwein Klaudia, Vuchetich Bálint.
3 points:	6 students.
2 points:	1 student.
1 point:	8 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2010