Problem B. 4246. (February 2010)

B. 4246. Given that the roots x₁, x₂, x₃ of the equation x³-(a+2)x²+(2a+1)x-a=0 satisfy , solve the equation.

(Mathematics Competition for Teacher Training Colleges 1975/2)

(4 pont)

Deadline expired on March 10, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Írjuk fel a gyökök és együtthatók közötti

összefüggéseket: (i) \(\displaystyle x_1+x_2+x_3=a+2\), (ii) \(\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=2a+1\), (iii) \(\displaystyle x_1x_2x_3=a\). Mivel egyik gyök sem 0, azért \(\displaystyle a\ne 0\), és így a feltétel szerint

\(\displaystyle \frac{5}{x_3}=\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}+\frac{2}{x_3}= 2\cdot\frac{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}{x_1x_2x_3}=\frac{4a+2}{a},\)

ahonnan kapjuk, hogy \(\displaystyle 4a+2\ne 0\) és

\(\displaystyle x_3=\frac{5a}{4a+2}.\)

Innen (iii), illetve (i) alapján

\(\displaystyle x_1x_2=\frac{a}{x_3}=\frac{4a+2}{5}\qquad \hbox{és}\qquad x_1+x_2=a+2-x_3=\frac{4a^2+5a+4}{4a+2}\)

adódik. Ezeket (ii)-be beírva kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{4a+2}{5}+\frac{4a^2+5a+4}{4a+2}\cdot\frac{5a}{4a+2}=2a+1,\)

ahonnan \(\displaystyle 4a^3-19a^2+28a-12=0\). Ha észrevesszük, hogy ennek az egyenletnek egyik gyöke \(\displaystyle a=2\), akkor a baloldal már szorzattá alakítható:

\(\displaystyle 4a^3-19a^2+28a-12=(a-2)(4a^2-11a+6)=(a-2)(a-2)(4a-3),\)

vagyis \(\displaystyle a\) értéke csak 2 vagy 3/4 lehet, a megfelelő \(\displaystyle x_3\) érték pedig \(\displaystyle x_3=1\), illetve \(\displaystyle x_3=3/4\). Az első esetben az egyenlet

\(\displaystyle 0=x^3-4x^2+5x-2=(x-1)(x^2-3x+2)=(x-1)(x-1)(x-2)\)

alakú, ahonnan \(\displaystyle \{x_1,x_2\}=\{1,2\}\). A második esetben az egyenlet

\(\displaystyle 0=x^3-\frac{11}{4}\cdot x^2+\frac{5}{2}\cdot x-\frac{3}{4}= \left(x-\frac{3}{4}\right)(x^2-2x+1)=\left(x-\frac{3}{4}\right)(x-1)^2,\)

ahonnan \(\displaystyle x_1=x_2=1\). A feladat feltétele mind a két esetben teljesül.

Megjegyzés. Lényegesen kevesebb számolással célba érünk, ha észrevesszük, hogy az egyenlet gyökei \(\displaystyle \{x_1,x_2,x_3\}=\{1,1,a\}\).

Statistics:

95 students sent a solution.
4 points:	73 students.
3 points:	9 students.
2 points:	1 student.
1 point:	9 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2010