Problem B. 4262. (April 2010)
B. 4262. Given the points P and Q, determine the locus of the intersection of the line e passing through P with the plane Se through Q that is perpendicular to e.
(3 pont)
Deadline expired on May 10, 2010.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Könnyű látni, hogy a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontok a mértani helyhez tartoznak. Ha az \(\displaystyle e\) egyenes és az \(\displaystyle S_e\) sík \(\displaystyle M\) metszéspontja ezektől különbözik, akkor mivel a \(\displaystyle PMQ\) szög derékszög, a \(\displaystyle PQM\) derékszögű háromszög síkjában az \(\displaystyle M\) pont illeszkedik a \(\displaystyle PQ\) szakasz fölé emelt Thalesz-körre. A metszéspont tehát mindenképpen a \(\displaystyle PQ\) átmérőjű gömbfelületen helyezkedik el. Megfordítva, ha \(\displaystyle M\) ennek a gömbfelületnek \(\displaystyle P\)-től és \(\displaystyle Q\)-tól is különböző pontja, akkor az \(\displaystyle e=PM\) egyenesre az \(\displaystyle M\) pontban merőlegesen állított sík tartalmazza az \(\displaystyle MQ\) egyenest, vagyis áthalad a \(\displaystyle Q\) ponton, tehát megegyezik \(\displaystyle S_e\)-vel. Ezek szerint a keresett mértani hely a \(\displaystyle PQ\) átmérőjű gömbfelülettel egyezik meg. Megjegyezzük, hogy a bizonyítás a \(\displaystyle P=Q\) esetben is érvényes, ekkor a gömbfelület egy pontra húzódik össze.
Statistics:
70 students sent a solution. 3 points: 64 students. 2 points: 3 students. 1 point: 2 students. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2010