Problem B. 4271. (April 2010)

B. 4271. Is there a polynomial of degree at least two that represents a one-to-one mapping of the set of rational numbers onto itself?

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy van ilyen \(\displaystyle f\) polinom. Az októberi szám B. 4211. feladatának megoldása során beláttuk, hogy egy \(\displaystyle n\)-edfokú polinom csak akkor vehet fel \(\displaystyle n+1\) különböző racionális helyen is racionális értéket, ha minden együtthatója racionális. Mivel \(\displaystyle f\) minden racionális helyen racionális értéket vesz fel, racionális együtthatós kell legyen. Az \(\displaystyle f\) polinomot tetszőleges nemnulla egész számmal megszorozva megmarad az a tulajdonsága, hogy a racionális számok halmazát kölcsönösen egyértelműen képezi le önmagára, és fokszáma sem változik. Feltehetjük tehát, hogy \(\displaystyle f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0\), ahol \(\displaystyle n\ge 2\), minden \(\displaystyle a_i\) együttható egész szám, és \(\displaystyle a_n=2b\) pozitív páros szám.

Legyen \(\displaystyle M\) olyan pozitív egész szám, amelyre \(\displaystyle bM\ge |a_0|+|a_1|+\ldots +|a_{n-1}|\). Ekkor az \(\displaystyle |x|>1\) feltételt is maga után vonó \(\displaystyle |x|>M\) feltétel teljesülése esetén

\(\displaystyle \left|\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i\right|\le \sum_{i=0}^{n-1}|a_i|\cdot|x^i|\le \sum_{i=0}^{n-1}|a_i|\cdot|x^{n-1}|\le bM\cdot|x^{n-1}|<|bx^n|.\)

Ilyen esetekben tehát

\(\displaystyle |f(x)|\ge |a_nx^n|-\left|\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i\right|>|2bx^n|-|bx^n|>bM^n.\)

Tekintsük azt a \(\displaystyle 2bM^n+1\) darab egész számot, melyre \(\displaystyle -bM^n\le k\le bM^n\). Minden ilyen \(\displaystyle k\) egész számhoz léteznie kell olyan \(\displaystyle r\) racionális számnak, melyre \(\displaystyle f(r)=k\) és \(\displaystyle -M\le r\le M\). Kell tehát léteznie legalább \(\displaystyle 2bM^n+1\) darab különböző \(\displaystyle r\) racionális számnak, melyre \(\displaystyle -M\le r\le M\), és \(\displaystyle f(r)\) értéke egész szám.

Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle r\) racionális szám ilyen, és írjuk fel \(\displaystyle r=p/q\) alakban, ahol a \(\displaystyle p,q\) egész számok relatív prímek, és \(\displaystyle q>0\). Feltételünk szerint

\(\displaystyle q^{n-1}f(r)=q^{n-1}f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac {a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\ldots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n}{q}\)

egész szám, vagyis \(\displaystyle q\) osztója kell legyen az \(\displaystyle a_n\) együtthatónak. Ezért \(\displaystyle q\le a_n\) és \(\displaystyle |p|\le a_nM\). A feltételnek megfelelő racionális számok száma tehát \(\displaystyle M\ge 5b\) esetén legfeljebb

\(\displaystyle a_n(2a_nM+1)=8b^2M+2b\le 10b^2M\le 2bM^2<2bM^n+1.\)

Ellentmondásra jutottunk, ami azt jelenti, hogy nem létezhet a feladat feltételeinek eleget tevő polinom.

Statistics:

15 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Tamás, Cséke Balázs, Éles András, Janzer Olivér, Mester Márton, Mészáros András, Somogyi Ákos, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
4 points:	Dudás 002 Zsolt, Perjési Gábor, Szabó 928 Attila.
2 points:	2 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2010